高考概率题的考查方向-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■郑州大学数学学院 王恒睿 概率是高考的必考知识点,在选择题、填 空题或解答题中都有可能出现,试题内容以 概率中的基本概念和计算为主,总体难度不 大,重点考查运算求解能力。本文归纳了这 部分内容的命题方式和考查走向,供同学们 复习时参考。 考向一、古典概型的概率计算 古典概型的特征是样本空间的样本点只 有有限个,而且每个样本点发生的可能性相 同。判断一个试验是否为古典概型,在于检 验这个试验是否同时具有有限性和等可能 性,两者缺一不可。在古典概型中,计算某事 件A 的概率,关键是求出样本空间的样本点 总数,以及事件A 包含的样本点个数。 例 1 (2023年全国乙卷文9)某学校 举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从 中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位 参赛同学抽到不同主题的概率为( )。 A. 5 6 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 解析:用1,2,3,4,5,6表示6个主题, 甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如 表1所示: 表1 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2 (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3 (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4 (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5 (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6 (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 共有36个结果,其中甲、乙抽到相同结 果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6, 6),共6个,因此甲、乙两位参赛同学抽到不 同主题的概率为P= 36-6 36 = 5 6 。故选A。 点评:本题先对6个主题进行编号,然后 利用列举法直观地列出了甲、乙抽取的所有 36个结果,并在表格中找到甲、乙抽到相同 主题的结果有6个,从而甲、乙抽到不同主题 的结果共有30个,最后根据古典概型的计算 公式得出答案。 例 2 (2023年江西宜春模拟)临近高 考,同学们写祝福卡片许美好愿望。某寝室 的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起, 打乱后每人从中随机抽取一张卡片,已知有 同学拿到自己写的祝福卡,则至少有3位同 学摸到自己写的祝福卡片的概率为( )。 A. 11 120 B. 16 91 C. 11 76 D. 5 43 解析:恰有1位同学拿到自己写的祝福 卡的情况有C15C13C13=5×3×3=45(种),恰 有2位同学拿到自己写的祝福卡的情况有 C25C12=10×2=20(种),恰有3位同学拿到自 己写的祝福卡的情况有C35=10(种),恰有4 位(也就是5位)同学拿到自己写的祝福卡的 情况有1种,所以有同学拿到自己写的祝福 卡这一事件含有的样本点总数为45+20+ 10+1=76(个),至少有3位同学摸到自己写 的祝福卡的样本点有10+1=11(个),所以 至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概 率为P= 11 76 。故选C。 点评:本题的解答要注意以下两点:一是 根据题中条件,样本空间不是5张卡片的全 排列,而是“有同学拿到自己写的祝福卡”,也 就是缩小了样本空间,相当于条件概率问题; 二是样本空间的样本点比较多,不可能像例 1那样全部列举出来,所以必须利用排列组 合的知识来计算样本点的个数。 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年12月 考向二、几何概型的概率计算 几何概型的特征是样本空间的样本点有 无限个,而且每个样本点发生的可能性相同。 其中无限性是其与古典概型的本质区别。在 几何概型中,计算某事件 A 的概率,关键是 求出试验的全部结果所构成的区域测度,以 及构成事件A 的区域测度。 例 3 (2023年全国乙卷理5,文7)设O 为平面坐标系的坐标原点,在区域{(x,y)|1≤ x2+y2≤4}内随机取一点,记该点为A,则直 线OA 的倾斜角不大于 π 4 的概率为( )。 A. 1 8 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 解析:因为区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4} 图1 表示以O(0,0)为圆心,外圆半 径R=2,内圆半径r=1的圆 环,则直线 OA 的倾斜角不大 于 π 4 的部分如图1中的阴影所 示,在第一象限部分对应的圆 心角∠MON= π 4 ,结合对称性可得所求概率 P= (4π-π)× 1 4 4π-π = 1 4 。故选C。 点评:本题是与面积有关的几何概型,只 需根据题意画出“直线OA 的倾斜角不大于 π 4 ”对应的平面区域,结合几何概型的公式计 算面积之比即可。 例 4 (2023年新疆二模)魏