概率与其他知识的交汇应用问题-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■江苏省泗洪中学 包五岳 注重“在数学知识网络的交汇点上”设计 数学试题,已经成为新课标高考中创新命题的 一大特色与亮点,更是高考命题的一个基本指 导思想之一。而概率与其他知识的交汇应用 问题,也是其中非常重要的一种基本类型,此 类问题主要是概率与函数、不等式及数列等其 他知识的综合应用,求解的主要方法是利用概 率知识建立相应的数学模型(函数、不等式及 数列等),然后利用该模型所涉及的基础知识 来分析与求解,实现概率应用问题的破解。 一、概率与函数的综合应用问题 概率与函数的综合应用问题主要是利用 函数的有关知识求解与概率有关的最值等问 题。该类问题的求解主要是利用函数的性质 来确定函数的最值。 例 1 高性能计算芯片是一切人工智 能的基础。国内某企业已快速启动 AI芯片 试生产,试产期需进行产品检测,检测包括智 能检测和人工检测。智能检测在生产线上自 动完成,包括安全检测、蓄能检测、性能检测 等三项指标,且智能检测三项指标达标的概 率分别为 49 50 ,48 49 ,47 48 ,人工检测仅对智能检测 达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检 测,且仅设置一个综合指标。人工检测综合 指标不达标的概率为p(0<p<1)。 (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率; (2)人工检测抽检50个AI芯片,记恰有 1个不达标的概率为f(p),当p=p0 时, f(p)取得最大值,求p0; (3)若AI芯片的合格率不超过93%,则 需对生产工序进行改良,以(2)中确定的p0 作为p 的值,试判断该企业是否需对生产工 序进行改良? 解析:(1)记事件A=“每个AI芯片智能 检测不达标”,则P(A)=1-P(􀭿A)=1- 49 50 × 48 49× 47 48= 3 50 。 (2)由题意可得 f(p)=C150·p(1- p)49,求导得f'(p)=50[(1-p)49-49p· (1-p)48]=50(1-50p)(1-p)48。令 f'(p)=0,解得p= 1 50 。当p∈ 0, 1 50 时, f'(p)>0,f(p)为增函数;当p∈ 1 50 ,1 时, f'(p)<0,f(p)为减函数。所以f(p)在 p0= 1 50 处取得最大值。 (3)记 事 件 B=“人 工 检 测 达 标”,则 P(B|􀭿A)=1- 1 50= 49 50 。 又P(􀭿A)=1- 3 50= 47 50 ,所以P(􀭿A·B) =P(􀭿A)P(B|􀭿A)= 47 50× 49 50=92.1%<93% , 故需要对生产工序进行改良。 点评:在解决概率与函数,特别是高次函 数的综合应用问题时,经常要结合函数的构 建及高次函数的求导来解决高次函数问题的 单调性、极值与最值,为概率实际应用中的判 断、决策等提供理论依据。 二、概率与不等式的综合应用问题 概率与不等式的综合应用问题主要是利 用不等式比较大小的方法进行决策或者利用 不等式的解法求解概率的取值范围等问题。 求解此类问题时,应准确地将概率知识转化 为不等式知识来分析与处理。 例 2 在数字通信中,信号是由数字 “0”和“1”组成的序列。现连续发射信号n 次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的。记 发射信号“1”的次数为X。 (1)当n=6时,求P(X≤2)。 (2)已知切比雪夫不等式:对于任一随机 变量Y,若其数学期望E(Y)和方差D(Y)均 存在,则对任意正实数a,有P(|Y-E(Y)| 42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年12月 <a)≥1- D(Y) a2 。根据该不等式可以对事件 “|Y-E(Y)|<a”的概率作出下限估计。为 了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率 在0.4与0.6之间,试估计信号发射次数n 的最小值。 解析:(1)由题意知,发射信号“1”的次数 X 满足二项分布X~B 6, 1 2 ,所以P(X≤ 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= C06· 1 2 6 +C16· 1 2 · 1 2 5 +C26· 1 2 2 · 1 2 4 = 1 64+ 6 64+ 15 64= 11 32 。 (2)因为发射信号“1”的次数 X 满足二 项分布X~B n, 1 2 ,所以数学期望E(X) =0.5n,方差D(X)=0.25n。 依题意知0.4≤ X n≤0.6 ,解得0.4n≤ X≤0.6n,又因为-0.1n≤X-0.5n≤0.1n, 所以|X-0.5n|≤0.1n。由切比雪夫不等式 得P(|X-0.5n|<0.1n)≥1- 0.25n (0.1n)2 。 依题设条件,要使得至少有98%的把握 使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间,则 有1- 0.25n