辨析统计问题中的易错点-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■河南省清丰县第一高级中学 郭利敏 统计是高考命题的热点内容,这部分内 容看起来比较简单,但是解题时,同学们比较 容易出错,主要是因为对知识点没有真正的 理解。高考时通常考查频率分布直方图、样 本估计总体、回归方程及独立性检验,本文将 同学们容易出错的统计知识点进行总结,帮 助同学们正确认识统计问题。 一、求总体百分位数时,忽略了将数据从 小到大排序致错 例 1 某班在体育课上组织趣味游戏, 统计了第一组14名学生的最终得分为13, 10,12,17,9,12,8,9,11,14,15,12,10,12,则 这组数据的第80百分位数是( )。 A.12 B.11 C.14.5 D.14 解析:由题意,将14名学生的最终得分 从小到大排序为8,9,9,10,10,11,12,12, 12,12,13,14,15,17,因为14×80%=11.2, 所以这组数据的第80百分位数为第12个 数,即为14。故选D。 易错点剖析:先将数据从小到大排序,再 根据百分位数的计算方法求解。当求一组n 个数据的第p 百分位数时,i=n·p%,需要 注意当i不是整数时,大于i的比邻整数为 第p 百分位数;若i是整数,则第i项与第 (i+1)项数据的平均数为第p 百分位数。 二、频率分布直方图中特征量的求解不 清楚致错 例 2 2023年考研成绩公布不久,对 某校“软件工程”专业参考的200名考生的成 图1 绩进行统计,可以得 到如图1所示 的频 率分布直方图,其中 分组的区间为[340, 360),[360,380), [380,400),[400, 420],同一组中的数据用该组区间的中间值 作代表值,则下列说法中不正确的是( )。 A.这200名学生成绩的众数为370分 B.这200名学生成绩的平均分为377分 C.这200名学生成绩的70%分位数为 386分 D.这200名学生成绩在[400,420]中的 学生有30人 解析:由题意及图可知众数是370,所以 A正确;平均分为0.01×20×350+0.02× 20×370+0.012 5×20×390+0.007 5×20 ×410=377,所以B正确;设70%分位数为 m,则0.01×20+0.02×20+(m-380)× 0.012 5=0.7,得 m=388,所 以 C 错 误; 0.007 5×20×200=30,所以D正确。 故选C。 易错点剖析:频率分布直方图的纵坐标为 频率 组距 ,因此频率分布直方图中小矩形的面积为 频率。利用频率分布直方图求众数、中位数与 平均数等特征值时,容易出错,应注意区分这 三者,在频率分布直方图中:(1)最高的小长方 形底边中点的横坐标即是众数。(2)中位数左 边和右边的小长方形的面积和是相等的,均为 0.5;对于70%分位数,其左边对应的频率之和 为0.7。(3)平均数是频率分布直方图的“重 心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的 面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。 三、独立性检验问题中对 K2 值的意义 理解不准确致错 例 3 (多选)为考察某种药物预防疾 病的效果,进行动物试验,得到药物效果与动 物试验的列联表,如图1表示: 表1 服药情况 患病情况 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 总计 30 75 105 由上述数据给出下列结论,其中正确的 62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年12月 是( )。 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 。 表2 P(χ2≥k) 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 A.有95%的把握认为该药物有效 B.在犯错误不超过0.025的前提下,认 为该药物有效 C.有99%的把握认为该药物有效 D.没有99.5%的把握认为该药物有效 解 析: 根 据 题 意 可 得 χ2 = 105×(10×30-20×45)2 55×50×30×75 = 336 55≈6.109 。对 于选项A,χ2≈6.109>3.841,所以有95%的 把握 认 为 该 药 物 有 效;对 于 选 项 B,χ2 ≈ 6.109>5.024,所以在犯错误不超过0.025 的前提下,认为该药物有效;对于选项 C, χ2≈6.109<6.635,所以没有99%的把握认 为该药物有效;对于选项 D,χ2 ≈6.109< 7.879,所以没有99.5%的把握认为该药物 有效。 故选ABD。 易错点剖析:P(χ2≥xα)=α,当χ2≥xα 时,在犯错误不超过α的前提下,认为二者有 关,即不独立;也可以说有1-α 的把