椭圆中一道斜率之比问题的十种解法-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

椭圆中一道斜率之比问题的十种解法 ■上海市徐汇区上中路400号上海中学 张 甲 图1 题目 如图1,已知 椭圆 x2 4+ y2 3=1 的左、右 顶点分别为A、B,过椭圆 右焦点F 的直线l与椭圆 交于C,D 两点(不与 A, B 重合),记直线 AC,BD 的斜率分别为k1,k2,求证: k1 k2 为定值。 解析:易知A(-2,0),B(2,0),F(1,0)。 不妨设C(x1,y1),D(x2,y2),则: k1 k2 = y1 x1+2 y2 x2-2 = y1(x2-2) y2(x1+2) 。(*) 平时我们常见的式子中,x1 与x2,y1 与 y2 的地位总是对等的,最终可化为只含有 x1+x2,x1x2 或y1+y2,y1y2 的式子,从而利 用韦达定理解题。然而此题中(*)式是非对 称的,要解决这类问题,我们需要一些灵活的 处理方法,下面将展示解答此题的十种解法。 解法一:先猜后证 ①当直线l垂直于x轴时,易知C1, 3 2 , D1,- 3 2 ,则k1=12,k2=32,k1k2=13。 ②当直线l与x 轴不垂直时,设l:y= k(x-1),联立 y=k(x-1), x2 4+ y2 3=1 , 消去y 得: (3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0。 所以x1+x2= 8k2 3+4k2 ,x1x2= 4(k2-3) 3+4k2 。 因此,k1 k2 = 1 3⇔3× y1 x1+2 = y2 x2-2 ⇔ 3k(x1-1) x1+2 = k(x2-1) x2-2 ⇔3(x1-1)(x2-2) =(x2-1)(x1+2)⇔2x1x2-5(x1+x2)+ 8=0⇔2×4(k2-3)-5×8k2+8(3+4k2)= 0,化简知该式显然成立。 综上可知,k1 k2 = 1 3 ,为定值。 提醒:同学们可先在演草纸上由直线l 垂直于x 轴的情形得到定值 1 3 ,再完善证明 过程,可设直线l的方程为x=my+1,从而 避开讨论,然后直接证明k1 k2 = 1 3 即可。 解法二:运用坐标的和、积关系 设直线l 的方程为x=my+1,联立 x=my+1, x2 4+ y2 3=1 , 消 去 x 得,(4+3m2)y2 + 6my-9=0。所以y1+y2= -6m 4+3m2 ,y1y2= -9 4+3m2 ,即my1y2= 3 2 (y1+y2)。 因此,k1 k2 = y1(x2-2) y2(x1+2) = y1(my2-1) y2(my1+3) = my1y2-y1 my2y1+3y2 = 3 2 (y1+y2)-y1 3 2 (y1+y2)+3y2 = 1 2y1+ 3 2y2 3 2y1+ 9 2y2 = 1 3 ,为定值。 提醒:此题也可利用横坐标的和、积关系 解题,同学们可以尝试一下。 解法三:局部使用韦达定理 设直线l的方程为x=my+1,同解法二 得到y1+y2= -6m 4+3m2 ,y1y2= -9 4+3m2 。 因此,k1 k2 = y1(x2-2) y2(x1+2) = y1(my2-1) y2(my1+3) = my1y2-(y1+y2)+y2 my2y1+3y2 = -3m 4+3m2 +y2 -9m 4+3m2 +3y2 = 1 3 ,为定值。 解法四:利用“第三定义”转化为对称式 设直线l的方程为x=my+1,由 x21 4+ y21 3=1 ,得y21=31- x21 4 =-34(x21-4)。 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月 所以 y1 x1+2 · y1 x1-2 = y21 x21-4 =- 3 4 。 因此,k1 k2 = y1(x2-2) y2(x1+2) =- 3 4 · (x1-2)(x2-2) y1y2 =- 3 4 · (my1-1)(my2-1) y1y2 =- 3 4 1 y1y2 -m 1 y1 + 1 y2 +m2 。(1) 同解法二,得(4+3m2)y2+6my-9=0, 即9 1 y 2 -6m 1 y -(4+3m2)=0。 所以 1 y1y2 =- 4+3m2 9 ,1 y1 + 1 y2 = 2m 3 。 因 此,代 入 (1)式 可 得 k1 k2 = - 3 4 - 3m2+4 9 - 2m2 3 +m 2 =13,为定值。 提醒:式子 y1 x1+2 · y1 x1-2 =- 3 4 表明椭 圆上一点(非左右顶点)到左右顶点连线的斜 率之积为定值- 3 4 。一般地,椭圆x 2 a2 +y 2 b2 = 1(a>b>0)上任一点(非左右顶点)到左右顶 点连线的斜率之积为- b2 a2 ,可以从这个角度 对椭圆下定义,称为椭圆的“第三定义