双曲线离心率如何求-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

双曲线离心率如何求 ———从一道高考真题谈起 ■河南省禹州市第一高级中学 冯会远 求双曲线的离心率,是高考常考题型。 那么双曲线的离心率该如何求呢? 让我们从 一道高考真题谈起。 题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双 曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦 点分别为F1、F2,点 A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F1A→⊥F1B→,F2A→=- 2 3F2B →,则 双曲线C 的离心率为 。 分析:方法1:利用双曲线的定义与向量 数量 积 的 几 何 意 义 得 到|AF2|,|BF2|, |BF1|,|AF1|关于a,m 的表达式,从而利用 勾股定理求得a=m,最后利用余弦定理得到 a,c的齐次方程,进行得解。 方法2:依题意设出各点坐标,从而由向 量坐标运算求得x0= 5 3c ,y0=- 2 3t ,t2= 4c2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于 a,b,c的齐次方程,最后得解。 图1 解析:(方法1)依题意, 如图1,设|AF2|=2m,则 |BF2|=3m=|BF1|,|AF1| =2a+2m。在 Rt△ABF1 中,9m2 + (2a+2m)2 = 25m2,则(a+3m)(a-m) =0,故a=m 或a=-3m (舍去)。 所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|= |BF1|=3a,则|AB|=5a。 故cos∠F1AF2= |AF1| |AB|= 4a 5a= 4 5 。 所 以 在 △AF1F2 中,cos∠F1AF2 = 16a2+4a2-4c2 2×4a×2a = 4 5 ,整理得5c2=9a2。 故e= c a= 35 5 。 (方法2)依题意,得F1(-c,0),F2(c, 0),令A(x0,y0),B(0,t)。 因为F2A→=- 2 3F2B →,所以(x0-c,y0) =- 2 3 (-c,t),则x0= 5 3c ,y0=- 2 3t 。 又 F1A→ ⊥F1B→,所 以 F1A→ ·F1B→ = 8 3c ,- 2 3t ·(c,t)=83c2-23t2=0,则 t2=4c2。 又点A 在双曲线C 上,则 25 9c 2 a2 - 4 9t 2 b2 = 1,整理得 25c2 9a2 - 4t2 9b2 =1,即 25c2 9a2 - 16c2 9b2 =1。 所 以 25c2b2 - 16c2a2 = 9a2b2,即 25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2)。 整理得25c4-50a2c2+9a4=0。 则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2= 9a2 或5c2=a2。 又e>1,所以e= 35 5 或e= 5 5 (舍去)。 故e= 35 5 。 点评:解决过双曲线焦点的三角形的关 键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理 与余弦定理得到关于a,b,c的齐次方程,从 而得解。 从这道高考真题的解法可以看出,双曲 线离心率的求法主要有两种方法:定义法和 方程法。我们再来看几个变式题。 变式1:过双曲线E: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的左焦点F,作x2+y2=a2 的一条切 线,设切点为T,该切线与双曲线E 在第一 象限交于点A,若FA→=3FT→,则双曲线E 的 离心率为( )。 A.3 B.5 C. 13 2 D. 15 2 分析:取线段AT 中点,根据给定条件,结 03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月 合双曲线定义及勾股定理解答。 图2 解析:如图2,令双曲 线E 的右焦点为F',半焦 距为c,取 线 段 AT 中 点 M,连接OT,AF',F'M。 因为FA 切圆x2+y2 =a2 于T,所以OT⊥FA, |FT|= |OF|2-|OT|2= c2-a2=b。 因为FA→=3FT→,所以|AM|=|MT|= |FT|=b,|AF'|=|AF|-2a=3b-2a。 而O 为FF'的中点,于是F'M∥OT,即 F'M⊥AF,|F'M|=2|OT|=2a。 在Rt△AF'M 中,(2a)2+b2=(3b- 2a)2,整理得 b a= 3 2 。 所以 双 曲 线 E 的 离 心 率e= c a = 1+ b2 a2 = 13 2 ,选C。 点评:本题采用了定义法,关键是应用双 曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a2+b2=c2,来求a 与 c的关系式,即双曲线的离心率。 变式2:已知双曲线E: x2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点 M 在 双曲线E 上,△F1MF2 为直角三角形,O 为 坐标原点,作ON⊥MF1,垂足为