数列求和的六大解法-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

■安徽省太和中学 刘 创 岳 峻(特级教师) 全国新高考数学卷中,数列试题属中档 试题,考查的内容相对基础,多出现在解答题 之首。它主要考查“等差数列、等比数列”的 概念、通项公式及前n项和公式等知识,同时 考查错位相减求和法、倒序相加求和法、并项 求和法、裂项相消法、迭代法、放缩法等研究 数列的基本方法,也考查一般与特殊、化归与 转化等数学思想方法。数列命题趋于稳定, 这可以增强同学们的自信,为同学们后续的 学习奠定坚实的基础。 数列求和是高考必考的内容,主要考查 将一般数列求和转化为特殊数列求和的数学 运算、数学建模等核心素养。其常用方法有 公式法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减 法等,其中裂项相消法与错位相减法是命题 的热点。 下面结合数列的典型试题,梳理一下数 列求和的六大解法,力争做到“颗粒归仓”。 一、公式应用法 简单的数列求和,是由等差数列、等比数 列组合而成,只需厘清含有等差数列的哪些 项,含有等比数列的哪些项,可以直接应用等 差数列、等比数列的求和公式求解。 例 1 (2023届江苏省南京六校联合 体第一次调研)已知数列{an}满足a1=1,a2 =3,数列{bn}为等比数列,且满足bn(an+1- an)=bn+1。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)数列{bn}的前n 项和为Sn,若 , 记数列{cn}满足cn= an,n为奇数, bn,n为偶数, 求数列 {cn}的前2n项和T2n。 在①2S2=S3-2;②b2,2a3,b4 成等差数 列;③S6=126这三个条件中任选一个补充 在第二问中,并对其求解。 注:若选择多个条件分别解答,按第一个 解答计分。 解析:(1)已知bn(an+1-an)=bn+1,a1= 1,a2=3,令n=1,则2b1=b2。 又数列{bn}为等比数列,所以bn+1= 2bn。则an+1-an=2,数列{an}是以1为首 项,2为公差的等差数列,故an=2n-1。 (2)由(1)知数列{bn}是公比为2的等比 数列。 若选①,由2S2=S3-2,得2(b1+2b1) =b1+2b1+4b1-2,解得b1=2,故bn=2n。 若选②,由b2,2a3,b4 成等差数列,得 4a3=b2+b4,即2b1+8b1=20。 解得b1=2,故bn=2n。 若选③,由S6=126,得 b1(1-26) 1-2 =126 , 解得b1=2,故bn=2n。 所以cn= 2n-1,n为奇数, 2n,n为偶数。 所以数列{cn}的奇数项是以1为首项,4 为公差的等差数列;偶数项是以4为首项,4 为公比的等比数列。 故T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+ 9 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年12月 b4+…+b2n)= n+ n(n-1) 2 ×4+ 4(1-4n) 1-4 =2n2-n+ 4(4n-1) 3 。 二、拆项分组法 当数列的组合比较复杂时,需学会灵活 地转化为多个简单的数列,先分别求和,再合 成为原数列的前n项和。 例 2 (2023届广东省第一次联考)已 知等差数列{an}的前n 项和为Sn,a1+a5= 10,S9=81。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)若集合A={x|x=an,n∈N*},B= {x|x=2n,n∈N*},将A∪B 中的所有元素 按从小到大顺序排列,构成数列{bn}。设数 列{bn}的前n项和为Tn,求T33。 解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,则: 2a1+4d=10, 9(a1+4d)=81, 解得 a1=1 , d=2。 所以等差数列{an}的通项公式为an= 2n-1。 (2)集合 A={1,3,5,…,2n-1,…}, B={2,22,23,…,2n,…},易得A∩B=⌀。 设数列{bn}的前33项含有集合B 中的 元素有k 个,分别为2,22,23,…,2k,集合 A 中的元素有t个,分别为1,3,5,…,2t-1,且 k+t=33。 由于a33=65,所以2k<64,即k<6。 当k=5时,t=28,此时25=32<a28= 55。 所以 T33=2+22+ … +25 +S28 = 2(1-25) 1-2 + 1+55 2 ×28=846 。 素养提升:求解此类试题需过两关:第一 关,梳理关,即厘清哪些项是等差数列,哪些 项是等比数列,各有多少项;第二关,求和关, 对各个简单数列分别求和,直接利用等差数 列、等比数列前n项和公式求和,最后再合并 为待求数列的前n项和。 三、错位相减法 错位相减求和法适用于{anbn}类型的数 列,其中数列{an}是公差为d(d≠0)的等差 数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列。 求解思路是: 设S