盘点双曲线定义的应用-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

盘点双曲线定义的应用 ■江苏省太仓高级中学 李 倩 陈 健 定义法是数学解题最基本的方法之一, 巧妙利用定义,往往能起到凸显问题本质, “四两拨千斤”的作用,那么双曲线的定义有 哪些应用呢? 下面我们来盘点一下。 一、利用双曲线定义求轨迹方程 例 1 (1)已知曲线 C 上任意一点 P(x,y)满 足 方 程| (x+ 3)2+y2 - (x- 3)2+y2|=2,则曲线 C 的方程为 。 (2)已知动圆P 过点N(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+y2=8外切,则动圆P 的圆心 P(x,y)的轨迹方程为 。 分析:(1)根据双曲线的定义分析求解即 可得出答案。(2)设动圆 P 的半径为r,则 |PN|=r,由两圆外切得到|PM|=22+r, 进而得到|PM|-|PN|=22<|MN|=4, 可利用双曲线的定义求解。 解:(1)设 F1(- 3,0),F2(3,0),则 | (x+ 3)2+y2- (x- 3)2+y2|=2等 价于||PF1|-|PF2||=2<|F1F2|。 曲线C 为以F1,F2 为焦点的双曲线,且 实轴长为2,焦距为2 3,所以2a=2,2c= 23,即a=1,c= 3,b= (3)2-12= 2。 故曲线C 的方程为x2-y 2 2=1 。 (2)圆 M 的圆心为(2,0),与 N(-2,0) 关于原点对称。 设动圆P 的半径为r,则|PN|=r。 因为与圆 M:(x-2)2+y2=8外切,所 以|PM|=2 2+r,即|PM|-|PN|= 22<|MN|=4。 故点P 的轨迹是以M,N 为焦点的双曲 线的左支,a= 2,c=2,b2=c2-a2=2。 点 P 轨 迹 方 程 为 x2 2 - y2 2 =1 (x≤ - 2),即x2-y2=2(x≤- 2)。 二、利用双曲线定义求与距离有关的题 例 2 (1)已知双曲线 x2 9- y2 16=1 上 的点P 到点(5,0)的距离为15,则点P 到点 (-5,0)的距离为( )。 A.9 B.6 C.6或36 D.9或21 (2)已知双曲线 x2 4- y2 5=1 左焦点为F,P 为双曲线右支上一点,若FP 的中点在以|OF| 为半径的圆上,则点P 的横坐标为 。 分析:(1)利用双曲线的定义可得答案。 (2)根据中位线的性质求出|PF'|=2|OM| =6;根据双曲线的定义求出|PF|=10,从而 在Rt△MFF'中求出cos∠MFF'= 5 6 ,然后 根据xP+3=|PF|cos∠MFF'即可求出答案。 解:(1)设F1(-5,0),F2(5,0),F1,F2 为双曲线的焦点。则由双曲线的定义可知 ||PF1|-|PF2||=2a=6。 而|PF2|=15,|PF1|≥5-3=2, 所以 |PF1|=9或21。选D。 图1 (2)如图1,设 M 为 PF 的中点,F'为双曲线 的右焦点,易知a=2,b= 5,c=3。 因为 M 为PF 的中 点,所以|PF'|=2|OM| =2|OF|=6。 由双曲线的定义,知|PF|=|PF'|+ 4=10。 连接 MF',则∠FMF'= π 2 ,|MF|=5, 所以cos∠MFF'= 5 6 。 因此,xP +3=10cos∠MFF'= 25 3 ,即 33 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月 xP= 25 3-3= 16 3 。 三、利用双曲线定义解焦点三角形 例 3 (1)已知F1,F2 为双曲线 x2 4- y2 8 =1的左右焦点,点P 在双曲线上,满足|PF1| =2|PF2|,求△PF1F2 的面积为 。 (2)已知双曲线 C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2 的 直线与 双 曲 线 的 右 支 相 交 于 A,B 两 点, |BF1|=2|BF2|=4|AF2|,且△ABF1 的周 长为10,则双曲线C 的焦距为 。 分析:(1)根据双曲线的定义及|PF1|= 2|PF2|可求出|PF1|,|PF2|,|F1F2|,由勾 股定理知∠F1F2P= π 2 ,即可求出三角形面 积;(2)根据双曲线的定义,解得|AF1|= 3m,然后根据△ABF1 的周长为10,解得各 边长,最后根据余弦定理求解即可。 解:由题意得|PF1|=2|PF2|。 又|PF1|-|PF2|=4,所以|PF1|=8, |PF2|=4。 又|F1F2|=4 3,所 以|PF1|2 = |PF2|2+|F1F2|2,∠F1F2P= π 2 。 因此,S△PF1F2= 1 2 ·|PF2|·|F1F2|= 1 2×4×43=83 。 图2 (2)如图2,设|AF2|= m,则|BF