解析几何中的长度问题再探究-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

解析几何中的长度问题再探究 ■西北师范大学附属中学 卢会玉 圆锥曲线的长度问题是高考的高频考 点,对同学们的综合素质要求较高。所谓长 度问题,即为直线与圆锥曲线相交产生的一 些线段的长度问题,有时会转化为向量,有时 会转化为角度,达到将问题化繁为简,化陌生 为熟悉的目的。下面以2023年四省联考第 21题为例进行剖析。 一、试题呈现 例 1 (2023年四省联考第21题)已 知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)过点 A(42,3),且焦距为10。 (1)求双曲线C 的方程; (2) 已知点B(42,-3),D(22,0),E 为线段AB 上一点,且直线 DE 交双曲线C 于G,H 两点,证明: |GD| |GE|= |HD| |HE| 。 二、试题解析 (1)由已知得 32 a2 - 9 b2 =1,2 a2+b2 = 10,解得a=4,b=3。 所以椭圆C 的方程为 x2 16- y2 9=1 。 (2)设E(42,t),则|t|<3,|t|≠ 32 2 , G(x1,y1),H (x2,y2)。故 直 线 DE:y= t 22 (x-22)。 由 y= t 22 (x-22), x2 16- y2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得(9-2t2)x2+ 82t2x-16t2-144=0。 所 以 x1 + x2 = 82t2 2t2-9 ,x1x2 = 16t2+144 2t2-9 。 GD→·HE→-GE→·DH→=(2 2-x1, -y1)·(42-x2,t-y2)-(42-x1,t- y1)·(x2-22,y2) =2x1x2+2y1y2-6 2(x1+x2)- t(y1+y2)+32 = 2+ t2 4 x1x2- 324t2+62 (x1+ x2)+4t2+32 = 4(t2+8)(t2+9) 2t2-9 - 4t2(3t2+24) 2t2-9 + 4t2+32=0。 所以GD→·HE→=GE→·DH→,即|GD||GE|= |HD| |HE| 。 反思:以上解题过程把长度问题转化为 向量问题,进而转化为代数运算问题,属于解 决长度问题时最常见的解法。 三、总结梳理 (一)与长度的和、差有关的问题。 例 2 已知椭圆 E:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的一个顶点A(0,-2),以椭圆E 的四 个顶点围成的四边形面积为45。 (1)求椭圆E 的方程; (2)过点P(0,-3)作斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B,C,直线 AB, AC 分别与直线y=-3交于点 M,N,当 |PM|+|PN|≤15时,求k的取值范围。 解析:(1)椭圆E 的标准方程为 x2 5+ y2 4 =1。 (2)由题意,设直线l的方程为y=kx- 3。 当k=0时,直线l与椭圆E 没有交点, 而题中要求直线l交椭圆E 于不同的两点 B,C,所以k≠0。 设B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组 52 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月 y=kx-3, x2 5+ y2 4=1 , 可得: (4+5k2)x2-30kx+25=0。 则Δ=(-30k)2-4×25(4+5k2)>0, 解得|k|>1,所以x1+x2= 30k 4+5k2 ,x1x2= 25 4+5k2 。 则 y1y2 = (kx1 -3)(kx2 -3)= k2x1x2-3k(x1+x2)+9= -20k2+36 4+5k2 。 y1+y2 = (kx1 -3)+ (kx2 -3)= k(x1+x2)-6= -24 4+5k2 。 易知直线AB 的方程为y= y1+2 x1 x-2, 直线AC 的方程为y= y2+2 x2 x-2。 因为直线AB 交y=-3于点M,所以令 y=-3,则xM= -x1 y1+2 ,故 M -x1 y1+2 ,-3 。 同理可得N -x2 y2+2 ,-3 。 注意到x1x2= 25 4+5k2 >0,所以x1,x2 同号。 因为y1+2>0,y2+2>0,所以xM,xN 同号。 故|PM|+|PN|=|xM|+|xN|= |xM+xN|。 则|PM|+|PN|= x1 y1+2 + x2 y2+2 = x1(y2+2)+x2(y1+2) (y1+2)(y2+2) = x1(kx2-3)+x2(kx1-3)+2(x1+x2) y1y2+2(y1+y2)+4 = 2kx1x2-(x1+x2) y1y2+2(y1+y2)+4 = 2k· 25 4+5k2 - 30k 4+5k2 -20k2+36 4+5k2 - 48 4+5k2 +4 =5|k|。 故|PM|+|PN|=5|k|。