2023年高考之数列考点解读-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

■许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 数列是高中数学的重要内容,而且是集 计算、推理、综合训练于一体的重要知识内 容,其与高等数学有较为密切的联系,是进一 步学习的必备基础知识,也是每年高考命题 的热点之一。 数列内容从高考命题情况来看,每年基 本是2到3个选择、填空题和1道解答题;试 题难度为中低档;数列的通项与数列求和是 数列的主要问题形式,也是高考命题的主要 内容和热点内容。选择、填空题,常聚焦于对 等差(比)数列基本量的运算、前n 项和及等 差(比)数列性质进行考查;解答题,第一问一 般是借助数列的递推关系或性质考查数列的 通项,第二问是考查分组求和、裂项相消、错 位相减等常规的数列求和方法及应用。由于 数列是一类特殊的函数,故数列与函数、不等 式等知识的综合考查也显得自然、协调。此 外,数列是反映自然规律的基本数学模型,与 很多生活现象联系密切,故构造与数列有关 的数学文化方面的试题也是高考命题的亮点 之一。 下面我们结合2023年高考真题,对数列 考点进行解读。 考点一 对等差(比)数列的辨析与判断 例 1 【2023年新课标全国Ⅰ卷第7题】记 Sn 为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数 列;乙:Sn n 为等差数列,则( )。 A.甲是乙的充分但不是必要条件 B.甲是乙的必要但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的 必要条件 命题意图:本题是考查等差数列及其前 n项和的定义、性质,考查充分条件、必要条 件的定义等知识,考查同学们的逻辑推理及 数学运算等核心素养。 解题思路:利用充分条件、必要条件及等 差数列的定义,再结合等差数列前n 项和与 第n项的关系进行推理判断。 解析:(方法一)甲:{an}为等差数列。设 其首项为a1,公差为d。 则Sn=na1+ n(n-1) 2 d ,Sn n=a1+ n-1 2 d = d 2n+a1- d 2 ,Sn+1 n+1- Sn n= d 2 ,因此 Sn n 为 等差数列,则甲是乙的充分条件。 反之,乙:Sn n 为等差数列。 则 Sn+1 n+1- Sn n = nSn+1-(n+1)Sn n(n+1) = nan+1-Sn n(n+1) 为常数。设为t,即 nan+1-Sn n(n+1)=t , 则Sn=nan+1-t·n(n+1),即Sn-1=(n- 1)an-t·n(n-1),n≥2。 两式相减得,an=nan+1-(n-1)an- 2tn,即an+1-an=2t,对n=1也成立,因此 {an}为等差数列,则甲是乙的必要条件。 所以甲是乙的充要条件,C正确。 (方法二)甲:{an}为等差数列。 设数列{an}的首项a1,公差为d,即Sn =na1+ n(n-1) 2 d ,则Sn n =a1+ (n-1) 2 d= d 2n+a1- d 2 。因此,Sn n 为等差数列,即甲 是乙的充分条件。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年12月 反之,乙:Sn n 为等差数列。设Sn+1n+1- Sn n=d1 ,Sn n =S1+ (n-1)d1,即Sn=nS1+ n(n-1)d1,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)· (n-2)d1。 当n≥2时,上两式相减得,Sn-Sn-1= S1+2(n-1)d1。当n=1时,上式也成立, 于是an=a1+2(n-1)d1。 又an+1-an=a1+2nd1-[a1+2(n-1) d1]=2d1 为常数,因此{an}为等差数列,则 甲是乙的必要条件。 所以甲是乙的充要条件,选C。 考点解读:等差数列、等比数列的判断常 用方法如表1。 表1 等差数列 等比数列 定义法 an+1-an=d an+1 an =q(q≠0) 通项法 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1 中项法 2an=an-1+an+1 (n≥2) a2n=an-1an+1 (n≥2,an≠0) 前n项和法 Sn=an 2+bn (a,b为常数) Sn=kq n-k (k≠0,q≠0,1) 考点二 对数列基本量及性质的考查 例 2 (1)【2023年全国甲卷文科第5 题】记Sn 为等差数列{an}的前n 项和。若 a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )。 A.25 B.22 C.20 D.15 (2)【2023年新课标全国Ⅱ卷第8题】记 Sn 为等比数列{an}的前n 项和。若S4= -5,S6=21S2,则S8=( )。 A.120 B.85 C.-85 D.-120 (3)【2023年全国甲卷文科第13题】记 Sn 为等比数列{an}的前n 项和。若8S6= 7S3,则{an}的公比为 。 命题意图:本题是考