“点差法”为何需要“检验”-《中学生数理化》高二数学2023年12月刊

“点差法”为何需要“检验” ———以2023年高考数学全国乙卷一道高考题分析和拓展为例 ■河北南宫中学 霍忠林 宋 辛 “点差法”是圆锥曲线中处理“中点弦”问 题的一把利器,运用“点差法”可以避开直线 与圆锥曲线的联立,简化解题过程,减少思维 量,因此备受师生青睐。在“点差法”的使用 过程中,部分同学认为:如果曲线是双曲线或 抛物线(非“封闭”图形)则需要检验,但是如 果曲线是椭圆(“封闭”图形)就不需要检验, 这是真的吗? 另外,为啥使用“点差法”需要 检验呢? 下面首先对2023年全国高考数学 乙卷理科第11题(文科第12题)进行剖析, 再将双曲线推广到抛物线、椭圆,剖析为啥使 用“点差法”需要检验。 例 1 [2023年全国高考数学乙卷理 科第11题(文科第12题)]设A、B 为双曲线 x2-y 2 9=1 上两点,下列四点中,可为线段 AB 中点的是( )。 A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 溯源:该高考题源于新教材人教 A版选 择性必修一第128页第13题: 已知双曲线x2-y 2 2=1 ,过点P(1,1)的 直线l与双曲线相交于A、B 两点,P 能否是 线段AB 的中点? 为什么? 解析:(解法一)设 A(x1,y1),B(x2, y2),线段AB 中点 M 的坐标为(x0,y0),则 x0= x1+x2 2 ,y0= y1+y2 2 。 而x21- y21 9=1 ,x22- y22 9=1 ,两式相减得 (x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2) 9 = 0。变形得: y1-y2 x1-x2 ·y1+y2 x1+x2 =9,即 y1-y2 x1-x2 ·y0 x0 = 9,故kABkOM=9。 对于A选项,kOM=1,所以kAB=9,从而 AB 的直线方程为y=9x-8。将y=9x-8 代入x2-y 2 9=1 ,化简得72x2-144x+73= 0,此时Δ=-288<0,故A错误。 对于 B 选 项,kOM = -2,所 以 kAB = - 9 2 ,从而 AB 的直线方程为y=- 9 2x- 5 2 。将y=- 9 2x- 5 2 代入x2-y 2 9=1 ,化简 得45x2+90x+61=0,此时Δ=-2 880<0, 故B错误。 对于C选项,kOM=3,所以kAB=3,从而 AB 的直线方程为y=3x。而y=3x 为双曲 线x2-y 2 9=1 的渐近线,故此时直线AB 与 双曲线无交点,故C错误。 对于D选项,kOM=4,所以kAB= 9 4 ,从 而AB 的直线方程为y= 9 4x- 7 4 。将y= 9 4x- 7 4 代入x2-y 2 9=1 ,化简得63x2+ 126x-193=0,此时Δ>0,显然D正确。 评注:利用“点差法”得到直线 AB 的方 程,再逐一将直线方程与双曲线联立,消元后 得到一个一元二次方程,通过判别式来判断 直线与双曲线的交点个数。该方法过程虽然 严谨,但计算量较大,对于选择题显然不是最 佳解法。 (解法二)注意到四个选项的横坐标是- 1或1,因此线段AB 的中点在双曲线外部, 所以 A、B 两点分别在双曲线的左右支上。 而双曲线的渐近线的斜率为±3,故-3< kAB<3。由解法一得kAB= 9 kOM = 9x0 y0 ,所以 -3< 9x0 y0 <3,即- 1 3< x0 y0 < 1 3 ,显然只有D 73 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2023年12月 选项满足题意,故选D。 评注:该解法充分抓住四个选项的特征, 得到线段AB 的中点在双曲线外部,因此A、 B 两点一定在双曲线的不同支上,从而只需 比较kAB 与两条渐近线的斜率关系即可,这 样可以快速得到答案。 问题一般化 通过上述高考题,不难发现并非平面内 的任何一点都能作为双曲线弦的中点,那么 作为双曲线弦的中点需要满足什么条件呢? 于是得到下面问题:设A(x1,y1),B(x2,y2) 为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)上不同的 两点,点 M 为 线 段 AB 中 点,请 探 究 点 M(x0,y0)的位置。 解析:情况1:当直线AB 斜率不存在时, 则 M(x0,0)(其中x0>a或x0<-a)。 情况2:当直线AB 斜率存在时,若直线 AB 过原点,显然满足题意。若直线 AB 不 过原点时,设AB 方程为y-y0=k(x-x0), 将其代入 x2 a2 -y 2 b2 =1,化简得: (a2k2-b2)x2+2a2(y0-kx0)kx+ a2[(y0-kx0)2+b2]=0。 而2x0=x1+x2=- 2a2(y0-kx0)k a2k2-b2 ,即 2x0(a2