解析几何核心考点（一）焦点三角形 讲义——2024届高三数学一轮复习

2024届解析几何核心考点（一）焦点三角形 一．定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 二．基础知识: 焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中， （1）. . （2）. 焦点三角形的周长为 （3）.. （4）. 焦点三角形的面积为：. 分析： (5) 已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 分析;由正弦定理得： 由等比定理得： 而， ∴。 3． 典型例题 1．设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为 ( ) A. B. C. D. 解析：，选D 2．设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 解析：由于.故即. 故选：A. 3. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围. 解析：由椭圆的定义，得，平方得①. 由，②，是锐角，由余弦定理得③，③得 ④由②④，得， 是锐角， ，即且 .由②③可知 ⑤由①⑤可得 ， ，，即，.则椭圆离心率的取值范围是. 4．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 解析：设椭圆右焦点为，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以， 则，. 由余弦定理可得， 即，即 故椭圆离心率故选：C. 5.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 解析：由题意可得，，解得，又为直径，所以四边形为矩形，所以，又，所以，即，由，得，即，所以，即．故选：C． 四．习题练习 1．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：所以， 而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A． 2.椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最小值为______. 解析：如图，由题意，，设，，由椭圆定义，，在中，由余弦定理， ， 当且仅当时取等号，此时P为椭圆的短轴端点，所以的最小值为. 3.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 解：如图所示： 设，由，代入焦半径公式到可得：.再由 .结合（1），（2）式可得，，故 ，，这样在三角形与三角形中分别使用余弦定理可得:. . 4．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 解析：∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，则,设内切圆半径为r，则， ∴椭圆的离心率为．故选：A﹒ 5.已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2． 解析：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜ ∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝ ∴椭圆的方程为＝1． (2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ 椭圆的离心率 则， 整理得：5sinθ＝(1＋cosθ) ∴故，tanF1PF2＝tanθ＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$