平面向量与复数讲义-2024届高三数学一轮复习

平面向量与复数 【平面向量】 一、向量有关概念： （1）向量的概念：既有 又有 的量。 向量常用 或有向线段 或来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？ 。 （2）零向量：长度为 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是 ； （3）单位向量：长度为 的向量叫做单位向量； （4）相等向量： 的两个向量叫相等向量， ，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）： 的非零向量、叫做平行向量，记作： ； 规定 和任何向量平行。 （6）相反向量： 的向量叫做相反向量。的相反向量是 。 【思考辨析】请判断下列命题的对错 （ ）（1）若，则。 （ ）（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （ ）（3）若，则是平行四边形。 （ ）（4）若是平行四边形，则。 （ ）（5）若，则。（6）若，则。 （ ）（6）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （ ）（7）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （ ）（8）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （ ）（9）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。 （ ）（10）直角坐标平面上的轴、轴都是向量。 （ ）（11）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； （ ）（12）若与共线， 与共线，则与共线。 （ ）（13）若，则。 （ ）（14）若，则。 （ ）（15）若与不共线，则与都不是零向量。 （ ）（16）若，则。 （ ）（17）若与均为非零向量，，则。 （ ）（18）零向量的长度为零，方向是任意的. （ ）（19）若，都是单位向量，则＝. （ ）（20）向量与向量相等. （ ）（21）若非零向量与是共线向量，则，，，四点共线. 2、 向量的线性运算 1、 加法： （1） 请用铅笔作出图像，保留作图轨迹 平行四边形法则 三角形法则 （2） 结论：① ; ②在△ABC中， ; ③已知M是线段AB的中点，O为平面中任意一点，则 ; （3） 运算律 ①交换律： ; ②结合律： ; 2、 减法： （1）请用铅笔作出图像，保留作图轨迹 （2） ; （3） 向量的减法：让两向量的 相同，然后连接 ，方向指向 。 3、数乘 （1）若，则与的方向 ;若，则与的方向 ; 若，则 ; （2）运算律 ① ; ② ; ③ ; 4、共线的证明 （1）若（为常数），则 的充要条件是 ; （2）若，则 ; 三、平面向量基本定理 1、基本定理：如果和是同一平面内的两个 向量，那么对该平面内的任一向量， 一对实数、，使 ; 2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个 向量； 3、向量的坐标表示：如果和是同一平面内的两个 向量，那么对该平面内的任一向量， 一对实数，使 ;如果将和放入平面直角坐标系中，则 四、向量的坐标运算 五、求数量积 平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。 规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 平面向量数量积坐标表示： 的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。 向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①； ②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反