空间量向量讲义（基础知识）-2024届高三数学一轮复习

专题 空间向量 知识点一　空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 知识点三　向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝. 知识点　空间三种角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解． 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ 二面角 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π] 思考　二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？ 答案　 条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形 关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ 求空间角的方法（空间向量法） 1、 步骤： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出点的坐标（见空间直角坐标系的构建策略） （2）计算出需要线段的向量； （1） 求出需要的直线的向量以及平面的法向量； （2） 根据关系求出对应空间角（如上）。 2、典型例题 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$