2024届高三数学复习微专题22：最值、范围问题

微专题22 最值、范围问题 一、基本技能练 1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(，0)，过点F与x轴垂直的直线l1与双曲线C交于M，N两点，且|MN|＝4. (1)求C的方程； (2)过点A(0，－1)的直线l2与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若|GH|＝λ|DE|，求实数λ的取值范围. 2.已知直线y＝kx＋m与椭圆：＋y2＝1相交于A，B两点，与y轴交于点M，若存在m使得＋3＝4，求实数m的取值范围. 3.(2023·青岛质检)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点B(0，1)，P为直线l1：y＝kx(k>0)上不同于原点O的任意一点，线段OP的垂直平分线为l2，椭圆的两焦点F1，F2关于l2的对称点都在以P为圆心，为半径的圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l1与椭圆交于M，N两点，A为椭圆C的右顶点，求四边形AMBN的面积的取值范围. 4. (2023·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x，设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值. 5. (2023·郑州二模改编)已知椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，求△F2MN内切圆半径的最大值. 6.如图，已知椭圆C：＋＝1，M为椭圆C上动点，直线A1M交y轴正半轴于点A，直线A2M交y轴正半轴于点B(当M为椭圆短轴上端点时，点A，B，M重合). (1)若＝3，求直线MA的方程； (2)设直线A2M，AA2的斜率分别为k1，k2， 求k1＋k2的最大值. 7. (2023·北京石景山模拟改编)已知椭圆C：＋＝1，过点P(－1，1)且互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点及S，T两点.求的取值范围. 8.如图，已知椭圆C：＋＝1，点P(2，1)为椭圆C上一点.过点P作两直线l1与l2分别交椭圆C于A，B两点，若直线l1与l2的斜率互为相反数，求|AB|的最大值. 二、创新拓展练 9.(2023·丽水调研)已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)点A为椭圆C的右顶点，过点B(1，0)作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x＝3分别交于不同的两点M，N，求·的取值范围. 参考答案 1.解　(1)由题意得解得 故C的方程为x2－＝1. (2)显然直线l2斜率存在，设直线l2的方程为 y＝kx－1，D(x1，y1)，E(x2，y2)， 联立得(2－k2)x2＋2kx－3＝0， 因为l2与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点， 故解得－<k<， 此时有x1＋x2＝. 所以|DE|＝·|x1－x2| ＝· ＝·. 由双曲线的方程可得渐近线方程为y＝±x，由解得xG＝， 同理可得xH＝， 所以|GH|＝·＝， 因为|GH|＝λ|DE|，所以λ＝＝. 因为－<k<，所以≤λ<1， 故实数λ的取值范围是. 2.解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又M(0，m)，由＋3＝4得(x1＋3x2，y1＋3y2)＝(0，4m)，∴x1＝－3x2， 由 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ∵Δ＝(8km)2－4×(4k2＋1)×(4m2－4)>0， 即64k2－16m2＋16>0， ∴4k2－m2＋1>0， 由根与系数的关系得 x1＋x2＝－，x1x2＝， 又x1＝－3x2， ∴x2＝， 则x1·x2＝－3x＝－3＝， ∴16k2m2－4k2＋m2－1＝0， ∴k2＝. 代入4k2－m2＋1>0， 得＋1－m2>0，所以<m2<1， 解得m∈∪， ∴实数m的取值范围是∪. 3.解　(1)设F1，F2关于l2的对称点分别为F1′，F2′，O为线段F1F2的中点， ∴P是F1′F2′的中点， ∴F1′F2′是圆的直径， ∴|F1′F2′|＝|F1F2|＝2，∴c＝. 由已知b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x1<x2. 联立整理，得(1＋4k2)x2＝4， ∴x1＝，x2＝， |MN|＝|x1－x2|＝， 点A，B到直线l1的距离分别为 d1＝，d2＝， SAMBN＝|MN|·(d1＋d2) ＝·· ＝2 ＝2＝2， ∵＋4k≥2＝4 . ∴0<≤，∴1<1＋≤2， ∴SAMBN∈(2，2]. 4.解　抛物线的焦点为F(1，0). 由题意知直线MN的斜率不可能为0， ∴设MN的方程为 x＝my＋t，M(x1，y1)， N(x2，y2)， 联立消去x得y2－4my－4t＝0， ∴Δ＝16m2＋16t>0，即m2＋t>0， 由根与系数的关系得 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4