给单调性研究函数性质问题讲义-2024届高三数学一轮复习

导数及其应用 第1.1讲 给单调性研究函数性质问题 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 题型一 给单调性求参数取值范围 【思维升华】根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 例1.1．已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围为________． 【延伸探究】在本例中，把“f(x)在区间上单调递增”改为“f(x)在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围． 例1.2．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3,1)，则m＋n的值为________． 例1.3．函数f(x)＝在(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 【变式训练】1．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－，＋∞) 2．若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞) 例1.4．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________． 【变式】1．若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(　　) A. B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D. 2．设a>0，若函数f(x)＝在区间上不单调，则a的取值范围是________． 题型二、利用单调性解不等式问题 例2．已知函数f(x)＝ex－－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为________． 【变式】已知函数f(x)＝x5＋10x＋sin x，若f(t)＋f(1－3t)<0，则实数t的取值范围是________． 题型三、利用函数单调性比较大小问题 例3.1．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　) A．f >f(1)>f  B．f(1)>f >f  C．f >f(1)>f  D．f >f >f(1) 12．设函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，若a＝f(－2)，b＝f(ln 2)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 例3.2．(2022·河北衡水中学月考)下列不等式成立的是________．(填序号) ①2ln <ln 2； ②ln <ln ； ③5ln 4<4ln 5； ④π>eln π. $$