构造法研究函数及不等式问题讲义-2024届高三数学一轮复习

导数及其应用 第0讲 函数的构造以及同构 题型一　导数型构造函数 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 命题点1　常见的基础函数的构造 例1.1．已知f(x)的定义域为R，f(1)＝2 023，且f′(x)≥6x恒成立，则不等式f(x)>3x2＋2 020的解集为(　　) A．(－1,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 命题点2　利用f(x)与x构造 【思维升华】　函数f(x)与x相结合构造可导函数的几种常见形式： (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 例1.2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x)－>0，若a＝2f(1)，b＝f(2)，c＝4f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<b<c 【变式】 1．设f(x)为定义在R上的奇函数，f(－3)＝0.当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(0,3) B．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(0,3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 2．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a＝f(1)，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．a>c>b 命题点3　利用f(x)与ex构造 【思维升华】　函数f(x)与ex相结合构造可导函数的几种常见形式：　 (1)出现f′(x)＋f(x)形式，构造函数F(x)＝exf(x)； (2)出现f′(x)－f(x)形式，构造函数F(x)＝. 例1.3．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，a＝，b＝f(0)，则a，b的大小关系为________． 【变式】1．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，满足：exf(x)＋(ex＋1)·f′(x)>0，且f(1)＝，则不等式f(x)>的解集为(　　) A． (－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 2．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞) 3．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3的解集为________． 命题点4　利用f(x)与sin x、cos x构造 【思维升华】　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝， F′(x)＝. 例1.4．(2022·重庆模拟)定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有(　　) A．f >f  B.f >f  C．f >f  D.f <f  【变式】1．已知R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为________． 2．若函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(－π，0)，f′(x)sin x<f(x)cos x恒成立，则(　　) A.f >f  B．f >f  C.f <f  D．f <f  题型二　构造函数比较大小 例2.1．已知a＝ln ，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c 【变式】1．若e2b＋(a－1)2＝ea＋(2b－1)2，则(　　) A．a>2b B．a＝2b C．a<2b D．a>b2 2．已知a，b∈(0，e)，且a<b，则下列式子中不可能成立的是(　　) A．aeb<bea