第21讲、3.2.2.2奇偶性的应用讲义-2023-2024学年高一上学期初高中数学衔接

第21讲、3.2.2.2奇偶性的应用 知识点一、根据函数的奇偶性求函数的解析式 知识梳理 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． 例1、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 延伸探究　在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式． 【跟踪训练】 3.2函数的基本性质——奇偶性 学科网（北京）股份有限公司 1、 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式． 2、若是定义在上的偶函数,当时,,求的解析式。 例2、设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 【跟踪训练】设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)＋2g(x)＝2x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________. 知识点二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 问题　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性又如何？最值呢？ 例3、 已知函数是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论． 【变式1】、已知是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断的(-∞,0)上的单调性，并给出证明. ( 知识梳理 奇函数 1． 若 f ( x ) 为奇函数且在区间 [ a ， b ]( a < b ) 上单调递增 ，则 f ( x )在[－ b ，－ a ] 上 单调递增 ，即在对称区间上单调性 一致(相同) ． 2 ． 若 f ( x ) 为奇函数且在区间 [ a ， b ]( a < b ) 上有最大值为 M ， 则 f ( x ) 在 [－ b ，－ a ] 上有最小值为 － M . 偶函数 1． 若 f ( x ) 为奇函数且在区间 [ a ， b ]( a < b ) 上单调递增 ，则 f ( x )在[－ b ，－ a ] 上 单调递 减 ，即在对称区间上单调性 相反 ． 2 ． 若 f ( x ) 为奇函数且在区间 [ a ， b ]( a < b ) 上有最大值为 M ， 则 f ( x ) 在 [－ b ，－ a ] 上有最 大 值为 － M . ) 例2、已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) ( 反思感悟　 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接 利用函数的单调性比较大小 ； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需 利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上 ，然后利用单调性比较大小． )A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 【跟踪训练】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 知识点三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式 例3、设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． ( 反思感悟　 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ① 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f ( x 1 )< f ( x 2 )或 f ( x 1 )> f ( x 2 )的形式． ② 根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的 “ f ” 转化为简单不等式(组)求解． 特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域． )【跟踪训练】 1、已知在定义域上是增函数且为奇函数，，求实数的取值范围. 2、已知函数是R上的奇函数