第17讲 3.2.1.1函数的单调性的概念 讲义——2023-2024学年高一上学期初高中数学衔接

第17讲、3.2.1.1函数的单调性的概念 知识点一、函数的单调性 问题1、分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ （1）观察函的图像 在区间 上，随的增大而 ，从左往右看，图像是 的． （2）观察函数的图像 在区间 上，随的增大而 ，从左往右看，图像是 的． （3）观察函数的图像 在区间 上，随着的增大而 ，从左往右看，图像是 的． 在区间 上，随着的增大而 ，从左往右看，图像是 的． （4）观察函数的图像 在区间 上，随着的增大而 ，从左往右看，图像是 的． 在区间 上，随着的增大而 ，从左往右看，图像是 的． 问题2、如何理解函数图象是上升(下降)的？ 图象呈逐渐 趋势数值随的 而 ；x1 x2 y1 y2 图象呈逐渐 趋势数值随的 而 。x1 x2 y1 y2 问题3、如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 对于区间I内的任意两个值， 当时，都有 问题4、结合问题3中的结论，我们能不能将区间I能否省略，直接说“任意两个值，当时，都有”？为什么？如果不能，请问“区间I”是什么？我们该怎么描述更加准确？ ( 知识梳理 函数的单调性 一般地，设函数 f ( x ) 的定义域为 D ， 区间 I ⊆ D ： 增函数： 如果 ∀ x 1 ， x 2 ∈ I ， 当 x 1 < x 2 时 ，都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 )， 那么就称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调递增 ． 单调增区间： 区间 I 叫做 函数 f ( x ) 的单调增区间 ． 特别地，当函数 f ( x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 增函数 ． 减函数： 如果 ∀ x 1 ， x 2 ∈ I ， 当 x 1 < x 2 时，都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 )， 那么就称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调递减． 单调减区间： 区间 I 叫做 函数 f ( x ) 的单调减区间 ． 特别地，当函数 f ( x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 减函数 ． 注意点 ： (1) 区间 I 可以是整个定义域 D ， 也可以是定义域的真子集 ． （ 思考为什么 ？ ） (2) 同区间性 ， 即 x 1 ， x 2 ∈ I . (3) 任意性 ： 即不可以用区间 I 上的特殊值代替 ． (4) 有序性 ， 即要规定 x 1 ， x 2 的大小 ． (5) “ 单调递增(递减) ”“ x 1 ， x 2 的大小 ”“ f ( x 1 ) 与 f ( x 2 ) 的大小 ” 知二求一 ． (6) 单调递增(递减)是函数的 局部性质 ，增(减)函数是函数的整体性质 ． )例1、（根据函数图象说明函数的单调性．）如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。 例2、已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间． 【跟踪训练】画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间． 二、利用定义证明函数的单调性 例2、证明函数f(x)＝－－1在区间(2，＋∞)上单调递减． ( 反思感悟　 利用定义证明函数单调性的步骤 (1) 任取 ：设 x 1 ， x 2 是该区间内的任意两个值，且 x 1 < x 2 . (2)作差：作差 f ( x 1 )－ f ( x 2 )(或 f ( x 2 )－ f ( x 1 ))． ( 3 )变形：通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． ( 4 )定号：确定 f ( x 1 )－ f ( x 2 )(或 f ( x 2 )－ f ( x 1 ))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． ( 5 )结论：根据定义确定单调性． ) 【跟踪训练】 ( 2 ) 3.2函数的基本性质——单调性与最值 学科网（北京）股份有限公司 1、用定义证明函数在上是增函数． 2、 用定义证明函数在上是增函数． 三、函数单调性的简单应用 &例4、 在区间上为增函数的是（ ） A． B． C． D． ( 2 ) 3.2函数的基本性质 【跟踪训练】 1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函