2024届高三数学二轮复习专题突破练习：圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题 一、单项选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为(　　) A．64 B．16 C．8 D．4 2．已知实数x，y满足：＋＝1，则x－y的最大值为(　　) A． B．2 C． D．5 3．[2023·安徽蚌埠模拟]已知点F是抛物线y＝的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A是C上一点，B(2，1)，则|AB|＋|AF1|的最大值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．11 5．[2023·福建三明模拟]已知双曲线C：x2－＝1，P为双曲线C上任意一点，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 6．设F1、F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是直线x＝2上一点，则∠F1PF2的最大值是(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 7．[2023·山西吕梁模拟]已知点P(m，n)是椭圆＋＝1上的动点，点Q(a，0)(a>0且a≠)，则|PQ|最小时，m的值可能是(　　) A．－1 B． C．a D．3a 8．已知A，B是抛物线C：y2＝2x上两动点，F为抛物线C的焦点，则(　　) A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时，|AB|＝ C．若AB中点M的横坐标为2，则|AB|最大值为5 D．＋＝2 三、填空题 9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，A，B是双曲线C渐近线上的点，A位于第一象限，B位于第四象限，若O为坐标原点，<∠AOB≤，则C的离心率的最大值为________． 10．已知M为椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|MF1|·的最大值为________；|MF1|2＋的最小值为________． 四、解答题 11．[2023·广东深圳模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点(4，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若经过定点(0，－1)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值． 解： 12．[2023·山东淄博模拟]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值． 解： 1．解析：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2， 因为椭圆上的点P满足|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， 当点P为F1F2的延长线与C的交点时，|PF1|－|PF2|取得最大值，最大值为|F1F2|＝4. 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为16.故选B. 答案：B 2．解析：令m＝x－y，则直线2x－y－2m＝0与＋＝1有交点情况下，直线在x轴上截距最大， 假设直线与椭圆相切，则x2＋3(x－m)2＝3，即4x2－6mx＋3m2－3＝0， 所以Δ＝36m2－48(m2－1)＝0，可得m2＝4，即m＝±2， 要使2x－y－2m＝0在x轴上截距最大，即m＝2.故选B. 答案：B 3．解析：抛物线x2＝4y，焦点F(0，1)， 设直线的倾斜角为θ，得：|AF|＝，|BF|＝，则＋＝1， |AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)(＋)＝5＋＋≥9. 当且仅当|AF|＝2|BF|＝3时等号成立．故选D. 答案：D 4．解析： 设椭圆的半焦距为c，则F2(2，0)，a＝3， 如图，连接AF2，则|AB|＋|AF1|＝|AB|＋2a－|AF2|＝6＋|AB|－|AF2|， 而|AB|－|AF2|≤|BF2|＝1，当且仅当A，F2，B共线且F2在A，B中间时等号成立， 故|AB|＋|AF1|的最大值为7.故选A. 答案：A 5．解析：因为双曲线C：x2－＝1，所以双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0， 设P(m，n)是双曲线上任意一点，则|m|≥1，m2≥1， 所以m2－＝1，则8m2