2024届高三数学二轮复习专题突破练习：立体几何中的最值、范围问题

立体几何中的最值、范围问题 一、单项选择题 1．[2023·黑龙江哈尔滨模拟]将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为(　　) A． B． C． D． 2．[2023·广东韶关模拟]已知四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的下底面为矩形，AB＝2A1B1，高为3，且该棱台的体积为63，则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是(　　) A．15 B．14 C．13 D．12 3. [2023·河北衡水模拟]如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AB＝4，AF＝1，若G是线段EF上的动点，则三棱锥C ­ ABG的外接球表面积的最小值是(　　) A．16π B．20π C．32π D．36π 4．将一个体积为36π的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为(　　) A．16 B．16 C．8 D．8 5．[2023·广东广州模拟]已知圆台O1O的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面α经过圆台O1O的两条母线，设α截此圆台所得的截面面积为S，则(　　) A．当h≥R－r时，S的最大值为(R＋2r)h B．当h≥R－r时，S的最大值为 C．当h<R－r时，S的最大值为(R＋2r)h D．当h<R－r时，S的最大值为 6．[2022·新高考Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A． B． C． D．[18，27] 二、多项选择题 7．已知点P是棱长为2的正方体ABCD ­ A1B1C1D1的底面ABCD上一个动点(含边界)，若F是A1B1的中点，且满足PF∥平面B1CD1，则(　　) A．FP所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．FP所在的平面与正方体表面的交线为六边形 C．FP长度的最大值是2 D．FP长度的最小值是 8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，O′，其高为2，△ABC为圆O的内接三角形，且∠BAC＝60°，BC＝3，P为圆O′上的动点，则(　　) A．若PB⊥平面ABC，则三棱锥P ­ ABC外接球的表面积为16π B．若PA⊥BC，则AB＝AC C．三棱锥P ­ ABC体积的最大值为 D．点A到平面PBC距离的最大值为 三、填空题 9．将两个半径均为3 cm的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为________ cm. 10．[2023·广东深圳模拟]如图，已知球的表面积为16π，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为________． 四、解答题 11. [2023·河北衡水模拟]如图，直三棱柱A1B1C1 ­ ABC中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，D，E，F分别为AC，BC，B1B的中点，C1F⊥A1B1，G为线段DE上一动点． (1)证明：C1F⊥A1G； (2)求平面GA1C1与平面GA1B1夹角的余弦值的最大值． 解： 12. 如图，ABCD为圆柱OO′的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线． (1)证明：BE⊥平面DEF； (2)若AB＝BC＝，当三棱锥B ­ DEF的体积最大时，求二面角B ­ DF ­ E的正弦值． 解： 1．解析：设圆柱的底面半径为r，高为x，体积为V， 由△PO1A1与△POA相似，可得＝，则x＝2－2r， 所以圆柱的体积为V＝πr2x＝πr2(2－2r)≤π·()3＝， 所以圆柱的最大体积为，此时r＝.故选C. 答案：C 2．解析：设棱台的上底面矩形边长分别为a，b，则下底面矩形边长分别为2a，2b， 则棱台的体积为V＝×3×(ab＋＋4ab)＝63， ∴ab＝9， 所以棱台的上底面的周长为2(a＋b)≥4＝12， 当a＝b＝3时，即上底面的周长最小值为12.故选D. 答案：D 3．解析：由题意可知，设△ABG的外接圆半径为r，由正弦定理，知 2r＝＝，当∠AGB＝时，r取得最小值为2， 此时外接球半径R满足R2＝r2＋22≥8，解得R≥2或R≤－2(舍). 所以三棱锥C ­ ABG的外接球的最小半径为2. 所以外接球表面积为4πR2＝32π.故选C. 答案：C 4．解析：设正三棱锥的底面边长为a，高为h，球半径为R， 由球的体积为36π，则πR3＝36π，解得R＝3， ∴(a)2＋(h－3)2＝9，即a2＋h2－6h＝0，故a2＝－3h2＋18h， ∴正三棱锥的体积为：V＝×a2h＝(－3h2＋18h)h ＝(－3h3＋18h2)， ∴V′＝(－9h2＋36h)， 由V′>0得：0<h<4，此时函数