2024届高三数学二轮复习专题突破练习：立体几何中的翻折问题

立体几何中的翻折问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1. 如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面BAC⊥平面DAC，则二面角B ­ CD ­ A的余弦值为(　　) A． B． C． D． 2．[2023·安徽滁州模拟]在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则A′到平面EFD的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 3．[2023·广东汕尾模拟]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点A′，若三棱锥A′ ­ EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π 4. 如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，(　　) A．对任意位置，三组直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 B．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 二、多项选择题 5．平行四边形ABCD中，AB>AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A′BD，则下列直线中有可能与直线A′B垂直的是(　　) A．直线BC B．直线CD C．直线BD D．直线A′C 6. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系能成立的是(　　) A．直线AB∥直线CD B．直线AB⊥直线PQ C．直线PQ∥直线ED D．直线PQ∥平面ADE 7．[2023·黑龙江哈尔滨模拟]如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC＝2AB＝2，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(　　) A．存在点P，使得PE∥CF B．存在点P，使得PE⊥ED C．三棱锥P ­ AED的体积最大值为 D．当三棱锥P ­ AED的体积达到最大值时，三棱锥P ­ AED外接球表面积为4π 三、填空题 8．如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2.取AD的中点E，将△ABE沿BE折起，使二面角A ­ BE ­ C为120°，则四棱锥A ­ BCDE的体积为________． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，沿AC将△ABC折起，当三棱锥B ­ ACD 的体积取得最大值时，BD与平面ACD所成角的正切值为________． 10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△DAC翻折成△D′AC，则·＝________；当平面D′AC⊥平面ABC时，则异面直线AC与BD′所成角余弦值是________． 四、解答题 11．[2023·河北唐山模拟]如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，DC＝3，AD＝，E是CD上的一点，CE＝2ED，将△CBE沿BE折起，使得点C到达C1的位置，且AC1＝，P是DC1上的一点，且DC1＝3DP，如图2. (1)求点D到平面BC1E的距离； (2)求直线AE与平面PBE所成角的正弦值． 解： 12．[2023·河北秦皇岛模拟]如图(1)，在▱ABCD中，AD＝2BD＝4，AD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得点A到达点P处，如图(2). (1)若PC＝6，求证：PD⊥BC； (2)若PC＝2，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值． 解： 1．解析： 设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图， 因为平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，BO⊂平面BAC， 则BO⊥平面DAC，而CD⊂平面DAC，于是BO⊥CD， 又OE⊥CD，BO∩OE＝O，BO，OE⊂平面BOE，则CD⊥平面BOE， 而BE⊂平面BOE，即有CD⊥BE， 因此∠BEO为二面角B ­ CD ­ A的平面角，显然BO＝a，OE＝， 有BO⊥OE，即△BOE为直角三角形，有BE2＝BO2＋OE2＝a2，则BE＝a， 所以cos ∠BEO＝＝＝.故选C. 答案：C 2．解析：由折叠不变可知，三棱锥A′ ­ EFD中A′E，