2024届高三数学二轮复习专题突破练习：函数图像的公切线问题

函数的公切线问题 一、单项选择题 1．[2023·湖南长沙模拟]若斜率为1的直线l与曲线y＝ln (x＋a)和圆x2＋y2＝都相切，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．0或2 C．0 D．2 2．已知函数f(x)＝，g(x)＝a ln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a的值为(　　) A． B．e2 C．e D．2e 3．若直线y＝kx＋b是曲线f(x)＝ln x＋2的切线，也是曲线g(x)＝ln (x＋1)的切线，则k－b＝(　　) A．3－ln 2 B．3＋ln 2 C．＋ln D．1＋ln 2 4．[2023·河北沧州模拟]已知直线y＝kx＋b与曲线y＝ex＋2和曲线y＝ln (e2x)均相切，则实数k的解的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无数 二、多项选择题 5．若二次函数f(x)＝2x2＋3的图象与曲线C：g(x)＝aex＋3(a>0)存在公切线，则实数a的可能取值为(　　) A． B． C． D． 三、填空题 6．[2023·海南海口模拟]已知函数f(x)＝x3＋ln x的图象在点A(1，f(1))处的切线为l，若l与函数g(x)的图象也相切，切点为B(2，m)，则g(2)＋g′(2)＝________． 7．与曲线y＝ex和y＝－都相切的直线方程为________． 8．[2023·安徽定远模拟]已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则实数m＝________． 9．[2023·福建厦门模拟]已知函数f(x)＝mx＋ln x，g(x)＝x2－mx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在公切线，则实数m的最大值为________． 10．[2023·湖南长沙模拟]若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝2ln x恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为________． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x2－1，函数g(x)＝a ln x，其中a≤2.如果曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处具有公共的切线，求a的值及切线方程． 解： 12．已知函数f(x)＝1－eln (ax)，g(x)＝(a>0). (1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上的极值； (2)当a＝1时，若直线l既是曲线y＝f(x)又是曲线y＝g(x)的切线，试判断l的条数． 解： 1．解析：设直线l与曲线y＝ln (x＋a)的切点为P(x0，y0)， 由y′＝[ln (x＋a)]′＝，则＝1， 则x0＝1－a，y0＝0，即切点为P(1－a，0)， 所以直线l为y＝x－1＋a，又直线l与圆x2＋y2＝也相切， 则有＝，解得a＝2或a＝0.故选B. 答案：B 2．解析：∵f(x)＝，g(x)＝a ln x， ∴f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)， 由已知得＝a ln x，＝，解得a＝.故选A. 答案：A 3．解析：直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线， 则两个切点都在直线y＝kx＋b上，设两个切点分别为(x1，kx1＋b)，(x2，kx2＋b), 则两个曲线的导数分别为y′＝，y′＝， 由导数的几何意义可知k＝＝，则x1＝x2＋1， 且切点在各自曲线上，所以 则将x1＝x2＋1代入①可得k(x2＋1)＋b＝ln (x2＋1)＋2，　③ ③－②可得k＝2， 由k＝＝可得x1＝，x2＝－， 代入①中可知1＋b＝ln ＋2，③ 所以b＝1＋ln ＝1－ln 2， 所以k－b＝1＋ln 2.故选D. 答案：D 4．解析：根据题意可知，直线y＝kx＋b与曲线y＝ex＋2和曲线y＝ln (e2x)都相切， 所以对于曲线y＝ex＋2，则y′＝ex＝k，所以x＝ln k， 所以切点A(ln k，k＋2)， 对于曲线y＝ln (e2x)，则y′＝＝k(x>0)，所以x＝， 切点B(，ln ＋2)(k>0)，易知A，B不重合， 因为公切线过A，B两点，所以k＝＝＝， 进而可得k ln k－ln k－k－1＝0， 令g(k)＝k ln k－ln k－k－1(k>0)，则g′(k)＝ln k－(k>0)， 令φ(k)＝g′(k)＝ln k－(k>0)，则φ′(k)＝＋>0(k>0) 所以g′(k)在(0，＋∞)单调递增， 因为g′(1)＝－1<0，g′(e)＝1－>0， 所以存在k0使得ln k0－＝0，即ln k0＝， 所以当0<k<k0时，g′(k)<0，当k>k0时，g′(k)>0， 所以g(k)在(0，k0)上单调递减，在(k0，＋