2024届高三数学二轮复习专题突破练习：球的接、切问题

球的接、切问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1．已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是(　　) A．6π B．12π C．18π D．24π 2．[2023·河北沧州模拟]某圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的内切球的体积为(　　) A． B． C．4π D．6π 3．[2023·河北石家庄模拟]有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6.若该石料最多可打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为(　　) A．216－4π B．216－16π C．270－16π D．270－4π 4．在三棱锥A ­ BCD中，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BD⊥BC，AC＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A．40π B．32π C．8π D．6π 5．[2023·安徽合肥模拟]已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1∶9，则球的表面积为(　　) A．12π B．14π C．16π D．18π 6. 如图，半球内有一内接正四棱锥S ­ ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π 7. [2023·安徽马鞍山模拟]如图，在正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为(　　) A．16π B．π C．π D．30π 8．已知三棱锥D ­ ABC的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝∠CBA＝30°， 二面角D ­ AB ­C的大小为60°，若球O的表面积等于16π，则三棱锥D ­ ABC的体积等于(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　　) A．球O的表面积为6π B．球O的内接正方体的棱长为1 C．球O的外切正方体的棱长为 D．球O的内接正四面体的棱长为2 10．[2023·河北沧州模拟]若四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝，AD＝2，且异面直线BC和AD所成角的余弦值为，则球O的表面积可能为(　　) A．10π B．12π C．106π D．108π 三、填空题 11．[2023·湖南邵阳模拟]三棱锥P ­ ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝4，AC＝2AB＝2，AC⊥AB，则三棱锥P ­ ABC外接球的表面积为________． 12．已知直三棱柱ABC ­A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝，AA1＝2，∠BAC＝，则球O的体积为________． 13．[2023·江苏扬州模拟]已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________． 14．[2023·安徽合肥模拟]已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，△ADC是边长为2的等边三角形，△ADC外接圆的圆心为O′.若四面体ABCD的体积最大时，∠BAO′＝，则球O的半径为________；若AB＝BC＝，点E为AC的中点，且∠BED＝，则球O的表面积为________． 1．解析：正方体ABCD ­ A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则(2r)2＝22＋22＋22＝12，解得r＝，故球的表面积为S＝4×π×()2＝12π.故选B. 答案：B 2．解析： 设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝π×2，所以r＝，h＝＝3，设该圆锥内切球的半径为R，作出轴截面如图，利用相似可得＝，所以R＝，所以V＝＝＝.故选A. 答案：A 3．解析：设底面是边长为6的等边三角形的内切圆的半径为r， 由等面积法可得×3×6r＝×62，解得r＝， 若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为8， 因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为×62×8－4×π×()3＝216－16π.故选B. 答案：B 4．解析：因为△ACD和△BCD均为以CD为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球球心即为CD的中点， 由题意可得：CD＝AC＝4，则外接球的半径R＝CD＝2， 所以外接球的表面积S＝4πR2＝32π.故选B. 答案：B 5．解析：依据题意，球内切于圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆