精品解析：福建省泉州市泉州九中与侨光中学2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题

泉州九中与侨光中学2023秋季高二年联考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题人：尤新兴 审核人： 谢真娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A B. C. D. 或 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与，的夹角都等于若是的中点，（ ） A. B. C. D. 6. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ） A. 0个 B. 至多有一个 C. 1个 D. 2个 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于两点，若，则（    ） A. B. C. D. 8. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，每道题有多项符合题目要求.） 9. 下列命题正确的是（   ） A. 已知直线与直线平行，则实数为2 B. 过点，斜率是的直线方程是 C. 已知空间向量，且，则实数 D. 圆心为且和轴相切的圆的方程是 10. 已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（ ） A. 椭圆C的焦距为 B. 椭圆C的离心率为 C. 圆D在椭圆C的内部 D. 的最小值为 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则最小值为4 C. 以线段为直径圆与直线相切 D. 若，则直线的斜率为1 12. 如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C. 当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则________． 14. 过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________． 15. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为______． 16. 如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________. 四、解答题：（本题共6小题，共70分.其中17题10分，其余每题均12分.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤.） 17. 已知向量，，为坐标原点，点，. （1）求 （2）若点在直线上，且，求点的坐标． 18. 已知圆：，为圆上任意一点， （1）求中点的轨迹方程. （2）若经过直线与的轨迹相交于，在下列条件中选一个，求的面积. 条件①：直线斜率为；②原点到直线的距离为. 19. 已知双曲线Γ：（其中）的左、右焦点分别为（c，0）、（c，0）（其中）. （1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△的面积； （2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率. 20. 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点， （1）证明:平面PBD平面ABCD； （2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由. 21. 在平面直角坐标系中，曲线轨迹方程为． （1）若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； （2）若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 22. 平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，抛物线：的焦点为.，是过点互相垂