2024年九年级中考数学高频考点突破——二次函数与最大值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值 1．如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为. (1)求二次函数的表达式. (2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点. ①若点在二次函数的图像上，求的最大值. ②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围. 2．如图1，一块钢板截面的一边为线段，另一边曲线为抛物线的一部分，现沿线段将这块钢板分成①、②两部分，以边所在直线为x轴，经过点C且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位代表1米．已知：米，米，米． (1)求曲线所在抛物线的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)如图2，在该钢板第①部分中截取一个矩形，其中D为的中点，E，F均在线段上，G在曲线上，求的长； (3)如图3，在该钢板第②部分中截取一个，其中点P在曲线上，记的面积为S，求S的最大值． 3．如图1，抛物线交x轴于A，两点，与y轴交于点，点D为线段上的一个动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，设E点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当m为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)如图2，在（2）的条件下，直线上有一动点Q，连接，将线段绕点Q逆时针旋转，使点O的对应点P恰好落在该抛物线上，请直接写出的函数表达式．（直接写出结果） 4．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点，点P为直线上方抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若，垂足为Q，当的长度为最大值时，求此时点P的坐标； (3)如图2，若，垂足为Q，且，求此时点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为轴正半轴一点，． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)点为该抛物线在第一象限上的点不与点、重合，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)点是轴上的动点，当时，求的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点A，B在x轴上，且，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． (3)在x轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知二次函数，其中．    (1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点A的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求面积的最大值． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴是直线且经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式． (2)如图2，若点P为直线下方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B． (1)求抛物线的解析式． (2)若M为y轴上一点，当的值最小时，求点M的坐标． (3)如图2，若P是第一象限内抛物线上的一个动点，求的面积的最大值． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． (1)直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式； (2)连接、，求面积的最大值； (3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点是抛物线上的任意一点不与点重合，点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分包含端点记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？ (3)将线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； (4)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 12．如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)连接，交线段于点，求的最大值； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 13．如图1，抛物线的图象经过． (1)求c的值及抛物线的顶点坐标