2024年九年级中考数学高频考点突破——二次函数与最小值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值 1．如图一，抛物线过三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围； （3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结，点为线段的中点，点分别为直线和上的动点，求周长的最小值． 2．如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求周长的最小值； （3）若动点与点不重合，点为⊙上的任意一点，当的最大值等于时，过两点的直线与抛物线交于两点（点在点的左侧），求四边形的面积． 3．如图，已知抛物线经过点、. （1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标； （2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积 （3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示） 4．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线G：有最低点． （1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）； （2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围. 6．如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 7．在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点． （3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； （3）如图（2），若是线段上的一个动点与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标； 若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标． 10．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD，求线段CD的长； （2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标； （3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由． 1