专题28.1 锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题28.1 锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】锐角三角函数 正弦： sinA＝＝ 余弦： cosA＝＝ 正切： tanA＝＝. 【知识点二】特殊三角函数 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 【知识点三】解直角三角形的常用关系 (1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：； (3) 边角之间的关系：，，. 【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (4) 解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【考点目录】 【考点1】锐角三角函数； 【考点2】 特殊角三角函数值的计算； 【考点3】 解直角三角形； 【考点4】 锐角三角函数与相关知识综合 【考点5】 三角函数与实际问题 【考点一】锐角三角函数 【例1】如图，在中，于，． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论； （2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解． 解：（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 【点拨】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键． 【举一反三】 【变式1】如图，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用网格特点得到∠ABC=90°，然后利用正切的定义求解． 解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴tan∠BAC． 故选：C． 【点拨】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【变式2】如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则 （1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）． （2） ． （3） ．    【答案】 是 / / 【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，，，由，，证明，则，则，进而结论得证； （2）由勾股定理得，，由，可得； （3）由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，计算求解即可． （1）解：如图，作于，的延长线于，      由题意知，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：是； （2）解：由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意知，，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点二】 特殊角三角函数值的计算 【例2】计算：． 【答案】7 【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键，将特殊角的三角函数值代入并结合零次幂的性质计算即可． 解： ． 【举一反三】 【变式1】若锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角度的锐角三角函数值即可进行解答． 解：∵， ∴， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的正切值． 【变式2】计算（﹣）﹣2﹣+2cos30°＝ ． 【答案】2+． 【分析】根据负指数幂的运算法则、实数的性质、特殊角的三角函数值进行化解即可求解． 解：原式＝4﹣2+2×， ＝4﹣2+， ＝2+， 故答案为：2+． 【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 【考点三】 解直角三角形 【例3】如图，是的中线，   求： （1）的长； （2）的正弦值． 【答案】（1）6 （2） 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求