7.2 定义与命题第2课时 定理与证明课件 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

7.2 定义与命题 第七章 平行线的证明 第2课时 定理与证明 认真思考以下句子，并回答下列问题： a. 你上课认真听讲了吗？ b. 同位角相等； c. 同角的补角相等； d. 作线段 AB 的中垂线； e. 如果 a2 > b2 ，那么 a > b； f. 对顶角相等； 1.在上面的句子中哪些是命题？在命题中哪些是真命题？哪些是假命题？ 2.在上面的句子中，是命题的改写成“如果…那么…”的形式，并说出它们的条件和结论. 认真思考以下句子，并回答下列问题： a. 你上课认真听讲了吗？ b. 同位角相等； c. 同角的补角相等； d. 做线段 AB 的中垂线； e. 如果 a2 > b2 ，那么 a > b； f. 对顶角相等； 1、你是如何判断 b 和 e 是假命题的？ 举反例！ 2、你又是如何判断 c 和 f 是真命题的？ 我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？ 思考探究，获取新知 用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法. 这些方法往往并不可靠. 那已经知道的真命题又是如何证实的? 能不能根据已经知道的真命题证实呢? 呃……那可 怎么办 如何证实一个命题是真命题呢？ 5 读一读 课本P.168-170页，了解古希腊数学家欧几里得（公元前300年前后）和他的《原本》；找出下列各个定义. 2、公理: 1、原名: 3、证明: 4、定理: 某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 演绎推理的过程称为证明. 经过证明的真命题称为定理. 它们之间的关系如何？ 证实其他命题的正确性 推理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 原名、公理 一些条件 ＋ 总结归纳 本套教材选用如下八条基本事实作为证明的公理 1.两点确定一条直线. 2.两点之间，线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 8.三边对应相等的两个三角形全等. 其它哪些还可以作为公理？ 等式和不等式的有关性质都可以看作公理. 在等式中，一个量可以用它相等的量来代替. 数与式的运算律和运算法则都可以看作公理. 例如:如果 a=b，b=c ，那么 a=c ， 这一性质也可看作公理,称为“等量代换”. 又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理. 从这些公理出发，就可以证明已经探索过的结论了.例如，我们可以证明下面的定理; 定理 同角(等角)的补角相等. 定理 同角(等角)的余角相等. 定理 三角形的任意两边之和大于第三边. 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证： ∠AOC =∠BOD 例 证明： ∵直线AB与直线CD相交于点O. ∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）. ∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）. ∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）. 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 对顶角相等. 随堂练习 请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明. 辨一辩 所有的命题都是公理. 所有的真命题都是定理. 所有的定理是真命题. 所有的公理是真命题. × × √ √ 14 归纳总结 2、说明一个命题是假命题的方法： 举反例 3、说明一个命题是真命题的方法： 证明 说明的依据：公理（等式的性质） 定义、已证明的定理 例2 已知：b∥c，a⊥b． 求证：a⊥c． 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1 = 90°（垂直的性质）. 又 b∥c（已知）， ∴∠2 =∠1 = 90°（两直线平行，同位角相等）. ∴ a⊥c（垂直的定义）. a b c 1 2 典例精析 1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题 2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ） A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题 B C 3. 下列命题中，属于定义的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 同角的余角相等 C. 互补的两个角和为 180° D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度