3.2函数与方程、不等式之间的关系（第二课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

3.2函数与方程、不等式之间的关系（2） 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10长的线路，如何迅速查出故障所在？ 1.会用零点存在定理判断函数是否有零点.（重点） 2.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤.（难点） 3.会用二分法思想解决其他的实际问题. 探究点1 零点存在定理 思考1：已知函数，回答下列问题： （1）函数的零点是什么？ （2）函数在区间、、端点处的函数值的符号是什么？ 【解析】（1）函数零点是1. （2）；； 有零点的区间，函数在端点处的函数值异号，那么这两者之间有什么必然关系吗？ 思考2：已知、都是函数图象上的点，而且函数图象是连接两点的连续不断的线，作出3种的可能的图象并判断函数是否一定存在零点. x y 函数在区间中一定存在零点，但不能确定零点个数 x y 函数在区间中不一定存在零点 零点存在定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的， 并且（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数在区间中至少有一个零点， 即 . 注意：连续函数在区间上满足在区间内有零点，反之不一定成立. 若函数是单调函数，则至多有一个零点. 即时训练： 方程的解所在的大致区间为( ) A.(2,3） B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6) 【解析】设,则 ,, 因此，函数在中有零点.即方程有解. 又因为函数是单调增函数，因此只有一个零点. 例6.求证：函数至少有一个零点. 【解析】因为, 所以,因此，,使.结论成立. 你能求出的精确值吗？如果不能，怎样得到一个近似值？ 探究点2 二分法 思考1：情境中的问题要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，即两三根电杆附近，最多查几次就可以了？ 7次 设闸房和指挥部的所在处为点A,B, A (闸房) C B （指挥部） D E 取中点 这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半 这种解决问题的方法，就是二分法. 参考维修工人的维修方法来解决这个问题 试求函数在区间内的近似零点，使. 追问1：如果在区间中任取一个数作为的近似值，那么误差小于多少? 追问2：如果取区间的中点作为的近似值，那么误差小于多少? 怎样才能不断缩小误差？ 误差小于2 误差小于1 通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间 误差小于区间长度 D E 取中点 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 【解析】列表如下： 取为零点近似值 二分法的定义： 对于在区间[,]上_________且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 连续不断 前提条件 一分为二 零点 给定精确度,用二分法求函数的零点近似值使得的步骤： 重复步骤2～4． 1.确定区间，验证. 3.求区间的中点c. 4.计算 （1）若，则c就是函数的零点. （2）若,则令(此时零点x0∈). （3）若,则令（此时零点x0∈). 2.检查若，则取,否则转3. 即时训练：1.下列函数中能用二分法求零点的是________. x y O x y O x y O x y O 1 2 3 4 1,2 2.利用计算器，求方程的近似解.（精确度0.1） 【解析】画出及的图象，观察图象得，方程有唯一解，记为，且这个解在区间（2，3）内. y 1 3 3 x o 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 取2.5625为零点近似值, 此时误差小于0.1 设 则,列出下表： 例7.已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【解析】因为函数的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图所示： 不管哪种情况，求可以归结为, 即，解得或. 二分法 定义 求函数零点近似值的步骤 三种思想 逼近思想 函数思想 定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断. 口 诀 $$