3.2函数与方程、不等式之间的关系（第一课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

3.2函数与方程、不等式 之间的关系 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法. 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法 你会求什么方程的根呢？今天我们来学习方程的根与函数的零点！ 1.会求函数的零点.（重点） 2.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根、不等式之间的关系.（难点） 3.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(重点） 探究点1 函数的零点 思考1：已知函数,作出函数的图象并求下列几个问题： （1）函数的定义域为 ； （2）方程的解集为 ； （3）不等式的解集为 ； （4）不等式的解集为 . x y o 1 你能发现上述方程、不等式的解集与函数定义域、图象之间的关系吗？ 一般地，方程的实数根，也就是其对应函数的图象与轴交点的横坐标. 即方程有实数根 函数的图象与轴有交点 根据函数值的符号能把函数的定义域 分为几个不相交的集合. 假设函数的定义域为,若 显然，两两的交集都为空集，且. x y o 零点 一般地，如果函数在实数处的函数值等于零， 即,则称为函数的零点. 零点指的是一个实数， 不是一个点 方程有实数根 函数的图象与轴有交点 函数有零点 即时训练 函数的零点为（ ） A．(0，0)，(2，0) B．0 C．(4，0)，(0，0)， D．4，0 D 【解析】由得或. 注意：函数的零点是实数，而不是点. 例1 如图所示是函数的图象，分别写出,,的解集. 【解析】由图可知，的解集为 的解集为 的解集为 不等式解集的端点 对应函数的零点 对应方程的根 因此，解不等式, 可以先解对应方程，再根据函数性质得到解集. 例2 （课本例5）求函数的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式和的解集. 【解析】令,得或或 所以函数零点为 函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间的函数值的符号如下表所示： 作出函数图象如图: 的解集为 的解集为 探究点2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 思考：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次函数的图象，观察二者有何联系？ （1）方程与函数 （2）方程与函数 （3）方程与函数 方程 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 , 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 . . . . . x y O －1 3 2 1 1 2 5 4 3 函数的图象 与x轴的交点 . . . . . y x －1 2 1 1 2 O x y －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . 0 . 方程ax2+bx+c =0(a＞0)的根 函数y=ax²+bx+c(＞0)的图象 判别式Δ= b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 函数的图象 与x轴的交点 有两个相等的 实数根x1=x2 没有实数根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 没有交点 两个不相等 的实数根x1、 x2 【总结】 例3 利用函数求下列不等式的解集： （1）; （2） 【解析】设, 令,即 即,解得或. 作出函数的图象，如图 由图可知： （1）所求解集为; （2）所求解集为 x y 3 0 （3）; （4） 【解析】 （3）不等式可化为 （4）不等式可化为 设, 令,即 则,该方程无解. 作出函数的图象，如图 由图可知： （3）所求解集为; （4）所求解集为. x y 0 （5）; （6） 【解析】设, 令,即 即,解得. 作出函数的图象，如图 由图可知： （5）所求解集为; （6）所求解集为. x y 0 2 【提升总结】利用函数解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式（不等号右侧为0，二次项系数为正）; (2)确定判别式Δ的符号; (3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0，则对应的二次方程无根; (4)作出对应二次函数的图象得出不等式的解集. 例4若不等式的解集是,则 , . 1 【解析】因为不等式的解集是. 所以和是方程的两根. 由根与系数的关系得 解得. 一元二次不等式解集的端点值是其对应方程的根. 韦达定理： 跟踪训练：若不等式的解集是,则 的值为