3.3函数的应用（一）（第一课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

3.3函数的应用（一） 因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，所以函数知识在实际生活中有着广泛的应用.下面我们就一起探究一下怎么利用学过的知识来解决. 到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？ 一次函数; 二次函数; 指数函数; 对数函数; 幂函数 1.了解一次函数、二次函数、分段函数的广泛应用并求解实际问题. (重点） 2.掌握求解函数应用题的基本步骤. (难点） 3.掌握对数据的合理处理，建立函数模型. (难点） 例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示. 分档 户年用水量/m3 综合用水单价（元/m-3） 第一阶段 0~220（含） 3.45 第二阶段 220~300（含） 4.83 第三阶段 300以上 5.83 记户年用水量为时应缴纳的水费为元. （1）写出的解析式； （2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？ 分段函数 【解析】(1)当时，有; 当时，有 当时，有 因此， (2)因为,所以 因此，张明一家2015年应缴纳水费952.2元. 【总结提升】 使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下： 实 际 问题 数 学 模 型 实际问题 的解 数学模型 的解 抽象概括 推理演算 还原说明 分段函数可以用来描述生活中阶梯水价、阶梯电价、出租车费等 例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第（限定）年的城镇常住人口为亿.写出的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数. 【解析】因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以是一次函数. 设,其中是常数. 因为2013年是1978年后的第2013-1978=35年，所以 即 解得 因此， 因此，我国2017年的城镇常住人口为(亿) 例3 某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满.已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 【分析】房价与租金总收入的关系可以通过列表分析： 能看出数据变化的规律吗？ 提价/元 每间房单价/元 客房出租数 租金总收入/元 0 200 160 32000 20 220 150 33000 40 240 140 33600 60 260 130 33800 【解析】设每间房单价提高个20元时，每天客房的总收入为元. 则此时每间客房的单价为元，客房出租数为间，所以 当时，的最大值为33800. 因此，每间房单价提高到200+20=260元时，每天客房的租金总收入最高 此函数的定义域是什么？ 二次函数求最值 例4 某单位计划用围墙围出一块矩形场地，所有材料可筑墙的总长度为,如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 【解析】设矩形的长为时，场地的面积为. 因为矩形的周长为，所以矩形的宽为. 则 又因为 所以，当时，的最大值为 此时，矩形的长、宽都为. 例5 已知某产品的总成本与年产量之间的关系为,且当年产量是100时，总成本是6000，设该产品年产量为时的平均成本为. （1）求的解析式； （2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 【解析】（1）因为， 所以,解得. 所以.因此, 均值不等式求最值 （2）因为 当且仅当，即时，等号成立. 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固 定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价 与日均销售量的关系如下表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价 才能获得最大利润？ 【变式练习】 销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量（桶） 480 440 400 360 320 280 240 【解析】根据表可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为 480-40（)=520（桶） 由于>0,且520-40>0,即0<<13,于是可得 y=(520-40)-200 =-40+520-200, 0<<13. 易知，当=6.5时，有最大值. 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 实际问题 数 学 模 型 实际问题的解 数学模型的解 抽象概括 推理演算 还原说明 $$