专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（17大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（17大题型） 【题型目录】 题型一 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型二 判断（画）反比例函数图象 题型三 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型五 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型六 判断反比例函数的增减性 题型七 判断反比例函数图象所在的象限 题型八 已知反比例函数的增减性求参数 题型九 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十一 根据图形面积求比例系数 题型十二 求反比例函数解析式 题型十三 反比例函数与几何综合 题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用 题型十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【知识梳理】 知识点一、反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【经典例题一 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（2023上·安徽阜阳·九年级校考期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数的图象与反比例函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2022上·北京门头沟·九年级统考期末）函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    3．（2022·河北保定·校考一模）如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【经典例题二 判断（画）反比例函数图象】 1．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，己知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，则的值可能为（）