微专题13：空间角、距离的计算(几何法、向量法) 专练-2024届高三数学一轮复习

微专题13 空间角、距离的计算 一、基本技能练 1.(2023·淄博模拟)已知多面体ABCDEF中，AD∥BC∥EF，且AD＝CD＝DE＝4，BC＝EF＝2，∠BCD＝∠FED＝. (1)证明：AD⊥BF； (2)若BF＝2，求直线CD与平面ABF所成角的正弦值. 2.(2023·天津卷)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点. (1)求证：A1N∥平面C1MA； (2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值； (3)求点C到平面C1MA的距离. 3.(2023·福州调研)在三棱锥A－BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC的中点. (1)求直线AB与DE所成角的余弦值； (2)若点F在BC上，满足BF＝BC，设平面FDE与平面DEC夹角的大小为θ，求sin θ的值. 4.(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点. (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值. 5.(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 二、创新拓展练 6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，若平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1⊥平面ABC1. (1)求证：AB⊥BB1； (2)记平面ABC1与平面A1B1C1的夹角为α，直线AC1与平面BCC1B1所成的角为β，异面直线AC1与BC所成的角为φ，当α，β满足：cos α·cos β＝m(0<m<1，m为常数)时，求sin φ的值. 7.(2023·潍坊模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A－CD－P为直二面角. (1)求证：PB⊥PD； (2)当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 8. (2023·济宁模拟)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，平面AB1C⊥平面ABCD，DD1＝DA＝A1B1＝AB＝2，∠BAD＝. (1)证明：DD1∥平面AB1C； (2)若B1A＝B1C，求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值. 9. (2023·益阳调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD＝AB＝，CD＝CB＝，BD＝2，PB＝PD，E为线段PC上一点，PA∥平面BDE，平面PDB⊥平面ABCD. (1)求； (2)若三棱锥P－BDE的体积为，求平面EBC与平面DBC夹角的余弦值. 10. (2023·苏州调研)如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥底面ABC，AC＝BC＝DA＝1，AB＝，E是CD的中点，点F在DB上，且EF⊥DB. (1)证明：DB⊥平面AEF； (2)求平面ADB与平面DBC夹角的大小. 11.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.求： (1)点M到直线AC1的距离； (2)点N到平面MA1C1的距离. 参考答案 1.(1)证明　连接DF，在△BCD中，DC＝4，BC＝2，∠BCD＝， BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC·cos＝12， 可得∠DBC＝，即BD⊥BC， 又AD∥BC，可得BD⊥AD， 同理可得DF⊥AD， 又BD，DF⊂平面BDF，BD∩DF＝D， 所以AD⊥平面BDF； 又因为BF⊂平面BDF，所以AD⊥BF. (2)解　在△BDF中，易得BD＝FD＝2， 又BF＝2， 所以BD⊥FD，同时BD⊥AD，DF⊥AD， 以D为原点，DA，DB，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示. 其中A(4，0，0)，B(0，2，0)，F(0，0，2)， C(－2，2，0)，＝(－4，0，2)， ＝(－4，2，0). 设向量n＝(x，y，z)为平面ABF的法向量， 满足则 不妨取n＝(，2，2)，＝(－2，2，0)， 直线CD与平面ABF所成角的正弦值为 |cos〈，n〉|＝＝ ＝. 2.(1)证明　法一　如图1，连接MN. 因为M，N分别是BC，AB的中点， 所以MN∥AC且MN＝AC＝1， 即有MN綉A1C1， 所以四边形MNA1C1是平行四边形， 即有A1N∥MC1. 又MC1⊂平面C1MA，A1N⊄平面C1MA， 所以A1N∥平面C1M