微专题11：球的切、接问题 专练-2024届高三数学一轮复习

微专题11 球的切、接问题 一、基本技能练 1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A.π B. C. D. 2.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.12π B.24π C.36π D.144π 3.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　　) A.3π B.4π C.3π D.6π 4.(2023·榆林二模)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为4的等边三角形，若三棱锥P－ABC体积的最大值是32，则球O的表面积是(　　) A.100π B.160π C.200π D.320π 5.(2023·上海静安区模拟)“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)平方尺. A.142π B.140π C.138π D.128π 6.(2023·天津模拟)我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　　) A.12π B.24π C.36π D.48π 7.已知棱长为2的正四面体的各条棱都与某一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为(　　) A. B. C. D. 8.(2023·青岛模拟)一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为2∶1，则其内切球的半径是(　　) A. B.1 C. D. 9.(2023·晋中二模)我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为和2的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为(　　) A.16π B.18π C.20π D.25π 10.(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________. 11.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点. 12.如图，已知球O是棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________. 二、创新拓展练 13.(2023·赣州模拟)在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为CD，B1C1的中点，则三棱锥M－AA1N外接球的表面积为(　　) A.56π B.66π C.76π D.86π 14.(2023·福州二模)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC＝AB＝，∠ACB＝，则球O的体积为(　　) A.3π B.π C.π D.9π 15.(多选)(2023·杭州质检)如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O1，O2为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r＝2，则(　　) A.球与圆柱的体积之比为2∶3 B.四面体CDEF的体积的取值范围为(0，32] C.平面DEF截得球的截面面积最小值为 D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为[2＋2，4] 16.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，若将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为60°的二面角B－AC－D，则四面体DABC的外接球球O的体积为________. 17.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________. 18.(2023·潍坊调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC＝60°，AB＝AD，若四棱锥P－ABCD的体积为24，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积是_