2023年九年级中考数学复习 等腰三角形存在性的解题研究

等腰三角形存在性问题的解题研究 摘要：等腰三角形的特征其一是等腰三角形的两个底角是相等，两条腰线是相等的。这是等腰三角形与函数图形或几何图形结合时产生多种情况的原因所在，也是分析和解决等腰三角形存在性问题的突破口。找到解题的突破口对存在性问题至关重要。本文将呈现等腰三角形存在性问题的常考题型，并根据例题总结出应对等腰三角形存在性问题的规律性的解题方法。 关键词：等腰三角形；存在性问题；解题 等腰三角形是初中数学中常见的基本图形，从近十年的一些省份的中考题可以发现，等腰三角形问题常作为中考的数学压轴题出现，可见此类问题对中学生来说难度很大，我将以初中数学题为例，总结出应对此类题的解题策略。 方法一：从等腰三角形的边出发解决问题（两圆一线） 两圆：指的是以线段长度为半径，线段端点为圆心而产生的两个圆。 例1：如图所示，在平面直角坐标系中，已知P的坐标为（6，8），点H是X轴正半轴上的一动点，如果△POH是等腰三角形，求点P的坐标? [解析]因为点P（6，8），点O在坐标原点，所以可求得OP=10 ①当PO=DP=10时，以P为圆心，PO为半径画圆，与X轴的正半轴交于点H,此时点P在OH的垂直平分线上，此时H（12，0），如图1所示 ②当PO=HP=5时，以O为圆心，OP为半径画圆，与x轴的正半轴交于点H(12,0)，如图2所示； ③当HO=HP时，画OP的垂直平分线与x轴的正半轴交于点H，设垂足为点E，如图3所示 在Rt△OHE中，cos∠POH= =,OE=5,∴OH=，H（，0） 方法二：代数法：两点间距离 求等腰三角形的边长，再进行分类讨论和计算。于是就将等腰三角形存在性问题转化为为两点间的距离问题。 两点间距离公式： 若A（XA,YA），B(XB,YB)，则有：AB= 补充：例1也可以用代数法解答： 设H(x,o),由题意得PO2=102,OH2=x2,,PH2=(x-6）2+82， ①当PO=PH时，102=（x-6）2+82，解得x1= 0 ， x2=12, 当x=0时，既不满足点H在x轴的正半轴，也不存在△POH; ②当OP=OH=10时，102=x2,解得x=±10， 当x=－5时，存在△POH,但点H不在x轴的正半轴上，故舍去 ③当HO=HP时，x2=（x-6）2+82，解得x= 代数法解等腰三角形存在性问题的步骤： 1. 找到或表示出相关点的坐标； 2. 利用两点间距离计算公式，分别表示出各条线段，通常是线段的平方 3. 根据分类情况，利用相等便，列方程并解方程； 4. 检验结果，看是否符合题意 例1用代数法和几何法都可以解出，比较发现，代数法在思考时没有几何法那么难，很直接表示出各线段之间的关系，列方程计算即可，但代数法的计算量比较大，尤其是在解决二次函数与等腰三角形存在性问题时，代数法的计算量会更大，可以发现两种方法各有利弊，在解题时还需根据题目的具体情况灵活应用这两种方法。 方法二：从等腰三角形的角出发解决问题 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，AC=4cm，点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，当点D运动多少秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形?(结果可含根号). 【解析]在 Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=8cm，AC=4cm， ∴BC==4cm， ∵点D从点B出发，以每秒cm 的速度在射线BC上匀速运动，则BD=cm 以A、D、B为顶点的三角形为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当BD=AD时，如图1，过D作DE⊥AB于E,则AE=BE= AB=4，在Rt△ACB中，∵AC=4,AB=8,∴∠B=30°，cos∠B=cos30°=,∴=，t=； ②当AB=BD时，如图2，∵AB=8，BD=t,则t=8，t=； ③当AD=AB时，如图3，∵∠ACB=90°，∴DC=BC=4,则t=8，t=8； 综上，当D运动8秒或或秒时，△ABD为等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $$