微专题8 数列的奇偶项问题——2024届高三数学一轮复习讲义

微专题8　数列的奇偶项问题 一、基本技能练 1.已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝ 设bn＝a2n－1. (1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前2n项和. 2.已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*). (1)若数列{an}是等差数列，求a1的值； (2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn. 3.(2023·深圳一模)记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝＋n2＋1，n∈N*. (1)求a1＋a2，并证明{an＋an＋1}是等差数列； (2)求Sn. 4.(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和. 5.(2020·天津卷)已知为等差数列，为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3). (1)求和的通项公式； (2)记的前n项和为Sn，求证：SnSn＋2＜S(n∈N*)； (3)对任意的正整数n， 设cn＝求数列{cn}的前2n项和. 二、创新拓展练 6.(2023·青岛模拟)已知数列{an}和{bn}的各项为正，且a3＝18b1，{bn}是公比为的等比数列.再从：①数列{an}的前n项和Sn满足4Sn＝a＋2an；②数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a1，a2，a4成等比数列. 这两个条件中任选一个，解答下列问题： (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)令cn＝(an＋bn)cos nπ，设{cn}的前n项和为Tn.若(－1)n×(λ＋n)>Tn对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 7. (2023·潍坊调研)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋4n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求c1的取值范围. 8. (2023·石家庄模拟)已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝ (1)是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. (2)若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n. 9.(2023·长沙调研)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 10. (2023·天津重点中学联考)已知正项等比数列{an}，满足a2a4＝1，a5是12a1与5a3的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝＋(－1)n·n，求数列{bn}的前n项和Sn. 参考答案 1.(1)证明　由题意可知b1＝a1＝1， bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1) ＝2a2n－1＋2＝2bn＋2， 故bn＋1＋2＝2(bn＋2)， 即＝2， 故{bn＋2}是以b1＋2＝3为首项，以q＝2为公比的等比数列， 所以bn＋2＝3×2n－1， 故bn＝3×2n－1－2. (2)解　由(1)知，bn＝3×2n－1－2， 即a2n－1＝3×2n－1－2， 由题意知an＋1＝ 故a2n＝a2n－1＋1. 所以数列{an}的前2n项和 S2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n ＝2[3(20＋21＋22＋…＋2n－1)－2n]＋n ＝6×－3n＝6(2n－1)－3n. 2.解　(1)若数列{an}是等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d， an＋1＝a1＋nd. 由an＋1＋an＝4n－3， 得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3， 即2d＝4，2a1－d＝－3， 解得d＝2，a1＝－. (2)法一　由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)， 得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*). 两式相减，得an＋2－an＝4， 由a2＋a1＝1，a1＝2， 得a2＝－1， 所以数列{a2n－1}是首项为a1＝2，公差为4的等差数列，数列{a2n}是首项为a2＝－1，公差为4的等差数列， 所以an＝ 当n为奇数时，an＝2n，an－1＝2n－7. Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－1)＝＋＝； 当n为偶数时，an＝2n－5，an－1＝2n－2， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝＋＝. 综上，Sn＝ 法二　由于an＋1＋an＝4n－3， 于是S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)