数学（上海卷02）-学易金卷：2024年高考第一次模拟考试

2024年上海高考数学第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在 答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（4分）若复数z满足，则复数z2023的值是 　﹣i　． 【分析】把已知等式变形，求得z，再由虚数单位i的运算性质求解． 【解答】解：由，得1+z＝i﹣iz， ∴z＝＝． 则z2023＝i2023＝i4×505+3＝i3＝﹣i． 故答案为：﹣i． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数单位i的运算性质，是基础题． 2．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，4}，A∩B＝{1，3}，则m＝　3　． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，4}，A∩B＝{1，3}， ∴m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（4分）方程x2+y2﹣2x+6y+5a＝0表示圆，则a的取值范围是 　（﹣∞，2）　． 【分析】根据已知条件，结合二元二次方程表示圆的条件，即可求解． 【解答】解：x2+y2﹣2x+6y+5a＝0，即（x﹣1）2+（y+3）2＝10﹣5a， ∵方程x2+y2﹣2x+6y+5a＝0表示圆， ∴10﹣5a＞0，解得a＜2， 故a的取值范围为（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）． 【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题． 4．（4分）已知M，N为直线3x+4y﹣15＝0上两点，O为坐标原点，若，则的最小值为　6　． 【分析】作OA⊥MN，设∠AOM＝α，计算OM，ON，得出关于α的函数，从而求出的最小值． 【解答】解：过O作OA⊥直线MN，垂足为A，则OA＝＝3， 设∠AOM＝α，则∠AON＝（﹣α），故OM＝，ON＝， ∴＝OM•ON•cos＝ ＝＝ ＝， ∴当2α+＝即α＝时，取得最小值＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，点到直线的距离公式和三角恒等变换，属于中档题． 5．（4分）已知f（x）＝x3，则f﹣1（x）＝　　． 【分析】利用反函数的定义，将x用y表示，即可得到反函数的解析式． 【解答】解：因为f（x）＝x3，所以， 故f﹣1（x）＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了反函数解析式的求解，解题的关键是掌握反函数的定义，属于基础题． 6．（4分）二项展开式的常数项的值为 　﹣160　． 【分析】先求出二项展开式的通项公式Tr+1，然后由6﹣2r＝0，求出r，再求出常数项的值． 【解答】解：∵的二项展开式的通项公式为Tr+1＝•（2x）6﹣r＝•26﹣r（﹣1）rx6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3， 则展开式的常数项等于23（﹣1）3＝﹣160，故答案为：﹣160． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为 　9　． 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数取得最大值时点的坐标，最后计算其最大值即可． 【解答】解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程：，可得点的坐标为：A（1，2）， 据此可知目标函数的最大值为：zmax＝1+2×4＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查线性规划及其应用，利用线性规划求最值的方法等知识，属于基础题． 8．（5分）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列．已知“和等比数列{an}的前三项分别为a1＝a2＝1，a3＝3，则数列{an}的前11项和S11＝　1365　． 【分析】根据给定条件，求出这个等比数列的公比、通项，再利用并项求和法计算作答． 【解答】解：根据题意，a1+a2＝2，a2+a3＝4， 因此等比数列{an+an+1}的首项是2，公比为2，有， 所以＝． 故答案为：1365． 【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质和应用，属于基础题． 9．（5分）梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝1，BC＝2