精品解析：上海市虹口区2024届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试题

虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知，则__________. 2. 函数的定义域为________． 3. 设等比数列的前n项和为，若，，则________． 4. 已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________. 5. 展开式中x的系数为________． 6. 已知，且x为第三象限角，则________． 7. 双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为________． 8. 已知函数，的部分图象如图所示，则________． 9. 已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为________． 10. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示） 11. 设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________． 12. 设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑． 13. 设i为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 14. 空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表： 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下： 下列叙述正确的是（ ） A. 这20天中的中位数略大于150 B. 10月4日到10月11日，空气质量越来越好 C. 这20天中的空气质量为优的天数占25% D. 10月上旬的极差大于中旬的极差 15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 16. 已知曲线对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都假命题 D. ①②都是真命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤． 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，求值域． 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面PMN所成角的大小． 19. 2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨． （1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ （2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？ 20. 已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． （1）求抛物线的方程及点M的坐标； （2）证明：为定值； （3）过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值． 21. 已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”． （1）判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由； （2）设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解； （3）设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能