2024届高三数学二轮复习专题突破精练--数列中的奇、偶项问题

数列中的奇、偶项问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、多项选择题 1．已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝则下列选项正确的是(　　) A．数列的奇数项构成的数列是等差数列 B．数列的偶数项构成的数列是等比数列 C．a13＝8 191 D．S10＝671 2．[2023·重庆九龙坡模拟]已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．a5＝24 B．bn＝n·2n C．Tn＝n·2n＋1 D．S2n＝(2n－1)2n＋1＋2 二、填空题 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则数列{an}的前2n项和S2n＝________． 4．[2023·辽宁实验中学模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且an＋1＝，若Sm＝90，则m＝________． 5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝则a20＝________． 6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝其中k∈N* ，则数列{an}的前2n项和S2n为________． 三、解答题 7．[2023·广东深圳模拟]已知等差数列{an}满足a3＝10，a5－2a2＝6. (1)求an； (2)数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n. 解： 8．[2023·辽宁锦州模拟]已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝n. (1)求{an}的通项公式； (2)已知cn＝，k∈N*，求数列{cn}的前20项和． 解： 9．[2023·安徽马鞍山模拟]已知数列{an}，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2，2a4，b5成等差数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)记数列{cn}满足：cn＝，求数列{cn}的前2n项和T2n. 解： 10．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{an}为等差数列，bn＝.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 解： 1．解析：因为a1＝1， an＋1＝ 所以a2＝1＋(－2)1＝－1，a3＝－1＋23， a4＝－1＋23＋(－2)3＝－1，a5＝－1＋25， a6＝a5＋(－2)5＝－1，a7＝－1＋27， a8＝－1，a9＝－1＋29， a10＝－1，a11＝－1＋211， a12＝－1，a13＝－1＋213＝8 191， 可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列， 奇数项不是等差数列， S10＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10 ＝1＋(－1)＋(－1＋23)＋(－1)＋(－1＋25)＋(－1)＋(－1＋27)＋(－1)＋(－1＋29)＋(－1) ＝1＋9×(－1)＋(23＋25＋27＋29) ＝－8＋＝672，故选BC. 答案：BC 2．解析：对A，a2＝a1＋2＝4，a3＝2a2＝8，a4＝a3＋4＝12，则a5＝2a4＝24，故A正确； 对B，由题意，b1＝a2＝4， 当n≥2时，bn＝a2n＝a2n－1＋()2n＝2a2n－2＋2n＝2bn－1＋2n， 所以－＝1，则是以1为公差，＝2为首项的等差数列． 则＝2＋(n－1)＝n＋1，则bn＝(n＋1)·2n，故B错误； 对C，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，即Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n， 所以2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1， 两式相减得－Tn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1 ＝4＋－(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1， 所以Tn＝n·2n＋1，故C正确； 对D，S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝[a2－()2]＋[a4－()4]＋…＋[a2n－()2n]＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝2(a2＋a4＋…＋a2n)－(2＋22＋…＋2n)＝2(b1＋b2＋…＋bn)－ ＝2Tn＋2－2n＋1＝2n×2n＋1＋2－2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2，故D正确．故选ACD. 答案：ACD 3．解析：由题可知，当n为奇数时，an＋1－an＝1， 当n为偶数时，an＋1－an＝2， 所以an＋2－an＝3， 即{an}隔项成等差数列，其中奇数项以a1＝1为首项，以3为公差；偶数项以a2＝2为首项，以3为公差， 所以S2n＝S奇＋S偶＝na1＋d＋na2＋d ＝n＋×3＋2n＋×3＝3n2. 答案：3n2 4．解析：当a1＝3时，a2＝10，a3＝5