2024届高三数学二轮复习专题突破精练--求数列的通项

求数列的通项　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋2，a1＝1，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝3×2n－1－2 D．an＝3n－2 2．[2023·山西阳泉模拟]已知等比数列{an}的前n项和Sn，满足an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则a5＝(　　) A．16 B．32 C．81 D．243 3．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝n D．an＝ 4．在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝2n，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝ C．an＝ D．an＝ 二、多项选择题 5．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列选项正确的是(　　) A．an＝－ B．an＝ C．数列为等差数列 D．＋＋…＋＝－5 050 三、填空题 6．[2023·河南新乡模拟]已知数列{an}满足a1＝－，an＋1－anan＋1－an＝0，则a8＝________． 7．若各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n满足an＋1＝＋，则数列{an}的通项公式an＝________． 四、解答题 8．[2023·河北衡水模拟]已知{an}为等差数列，＝，a1＝1. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求Tn. 解： 9．已知数列{an}各项均为正数，a1＝1，an＋1>an，且an＋2＋an＝a2·an＋1(n∈N*). (1)若数列为等差数列，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若数列为等比数列，且数列{an}不为等比数列，求数列{an}的通项公式． 解： 10．[2023·河北邯郸模拟]已知数列{an}中，an>0，a1＝3，记数列{an}的前n项的乘积为Sn，且Sn＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn∈(n－1，n). 解： 1．解析：由an＋1＝2an＋2，有an＋1＋2＝2(an＋2)，所以＝2， 又a1＝1，所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋2＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－2，n∈N*，故C正确． 答案：C 2．解析：等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋1(n∈N*)， ∴an＝Sn－1＋1(n≥2)， ∴an＋1－an＝an，∴an＋1＝2an，故等比数列{an}的公比为2. 在an＋1＝Sn＋1(n∈N*)中， 令n＝1，可得a2＝a1＋1，∴a1＝1，则a5＝a1·q4＝1×16＝16.故选A. 答案：A 3．解析：当n＝1时，有2a1＝1·21，所以a1＝1， 当n≥2时，由2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－1)·2n－1， 两式相减得2nan＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1， 此时，an＝，a1＝1也满足， 所以{an}的通项公式为an＝.故选B. 答案：B 4．解析：由a1＝1，an＋an＋1＝2n可得a2＝1，且an＋1＋an＋2＝2(n＋1)， 两式相减得an＋2－an＝2，当n＝2k－1，k∈N*时， a2k＋1－a2k－1＝2， 此时是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列， 则a2k－1＝1＋(k－1)×2＝2k－1(k∈N*)，即an＝n(n为奇数)； 当n＝2k，k∈N*时， a2k＋2－a2k＝2， 此时是以a2＝1为首项，公差为2的等差数列， 则a2k＝1＋(k－1)×2＝2k－1(k∈N*)，即an＝n－1(n为偶数)， 综合上述可得数列{an}的通项公式为an＝故选B. 答案：B 5．解析：Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1， 则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常数)， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－. 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，a1＝－1不适合上式， 故an＝故B正确，A错误； 所以＋＋＋…＋＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050, 故D正确．故选BCD. 答案：BCD 6．解析：由an＋1－anan＋1－an＝0，得－＝－1， 则是以＝－3为首项，公差为－1的等差数列， 所以＝－3－(n－1)＝－n－2，所以an＝－，所以a8＝－. 答案：－