专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类（26大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类 【目录】 2 3 3 6 12 考点一：函数零点问题之分段分析法模型 12 考点二：函数嵌套问题 14 考点三：函数整数解问题 17 考点四：唯一零点求值问题 20 考点五：等高线问题 22 考点六：分段函数零点问题 25 考点七：函数对称问题 29 考点八：零点嵌套问题 31 考点九：函数零点问题之三变量问题 34 考点十：倍值函数 36 考点十一：函数不动点问题 38 考点十二：函数的旋转问题 40 考点十三：构造函数解不等式 42 考点十四：导数中的距离问题 45 考点十五：导数的同构思想 49 考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 51 考点十七：三次函数问题 54 考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题 56 考点十九：任意存在性问题 62 考点二十：双参数最值问题 65 考点二十一：切线斜率与割线斜率 67 考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 69 考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 72 考点二十四：函数的伸缩变换问题 74 考点二十五：V型函数和平底函数 76 考点二十六：曼哈顿距离与折线距离 78 有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养. 考点要求 考题统计 考情分析 零点 2023年II卷第11题，5分 2022年I卷第10题，5分 2021年I卷第7题，5分 【命题预测】 预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小． （2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 不等式 2021年II卷第16题，5分 三次函数 2022年 I卷第10题，5分 2021年 乙卷第12题，5分 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）． 3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式． 4、分段函数零点的求解与判断方法： （1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决； （3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5、动态二次函数中静态的值： 解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题． 6、动态二次函数零点个数和分布问题： 通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑． 7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型： （1）对称轴变动，区间固定； （2）对称轴固定，区间变动； （3）对称轴变动，区间也变动． 这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值． 8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点… 具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式． 判别式 图象 单调性 增区间：，； 减区间： 增区间： 增区间： 图象 （1）当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点； （2）当时，有两根，，不妨设，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极