2023—2024学年人教版数学九年级上册期末复习讲与练

人教版 数学 9年级上册 期末复习讲与练 1　根的判别式的应用 一、不解方程判别方程根的情况 例1　不解方程判别方程根的情况： (1)16y2＋9＝24y；(2)5(x2＋1)－7x＝0；(3)x2－(m＋3)x＋m＝0(m为常数)． 注意点：根的判别式是判断根的情况的主要方法，可以正反应用． 二、求方程中字母的取值范围 例2　已知关于x的方程mx2＋2(m－3)x＋m－5＝0没有实数根，判断关于x的方程(m－5)x2－2(m＋2)x＋m＝0的根的情况． 分析：可由方程mx2＋2(m－3)x＋m－5＝0没有实数根求出m的取值范围，进而由此范围确定(m－5)x2－2(m＋2)x＋m＝0的根的判别式的情况． 注意点：一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数． 三、进行证明或计算 例3　求证： (1)关于x的方程x2＋kx＋k2＋1＝0没有实数根； (2)关于x的方程(x＋a)(x－a)－x＝2(x－1)总有两个不相等的根． 分析：(1)要证明方程无实根，可以证明Δ＝b2－4ac＜0. (2)要证明方程有两个不相等的根，可以证明Δ＝b2－4ac＞0. 注意点：一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况的关系： (1)Δ＞0方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝0方程有两个相等的实数根； (3)Δ＜0方程没有实数根． 一、判断一元二次方程根的情况 1．若关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　) A．m＜1 B．m＜1且m≠0 C．m≤1 D．m≤1且m≠0 2．(嘉兴中考)在x2＋(________)＋4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根． 3．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 4．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 二、确定一元二次方程中字母系数的值 5．关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是(　　) A．0 B．8 C．4± D．0或8 6．已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A．k>且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k>且k≠2 D．k≥且k≠2 7．(广州中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________． 8．关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，则k的最小整数值是________． 9．如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况． 10．(鄂州中考)已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根． 11．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根． (1)求a的最大整数值； (2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－的值． 三、判断二次三项式是完全平方式时的待定系数 12．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　) A．64 B．48 C．32 D．16 13．二次三项式x2－kx＋9是一个完全平方式，则k的值是________． 14．已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不等实根，试判断直线y＝(2m－3)x－4m＋7能否通过A(－2，4)，并说明理由． 2，一元二次方程的解法 例1　按要求解方程． (1)2x2－4x＝1(配方法)； (2)3x2＋2x＝1(公式法)； (3)x2－9＝3(x－3)(分解因式法)； (4)(2x＋1)2＝(x－1)2(选择适当的方法)． 例2　解方程： (1)(x2＋x)·(x2＋x－2)＝24； (2)x2－|x|－6＝0. 注意点：一元二次方程的常用解法有四种：①直接开平方降次法；②配方法；③因式分解法；④公式法．对给定的一元二次方程，依据其特点，应首先判断能否使用直接开平方降次法，利用该方法所解的方程类型有(ax－b)2＝c(c≥0)与(ax－b)2＝(cx－d)2两种；其次是因式