第18讲 导数的概念及其意义-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第18讲 导数的概念及其意义 【人教A版2019】 ·模块一 导数的概念 ·模块二 导数的几何意义 ·模块三 课后作业 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【考点1 瞬时速度、平均速度】 【例1.1】（2023下·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（    ） A．10.9 B．0.1 C．6 D．5 【例1.2】（2023下·贵州·高二校联考阶段练习）球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·山东枣庄·高二校考阶段练习）一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·高二单元测试）某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（    ） A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 【考点2 平均变化率】 【例2.1】（2023下·北京房山·高二统考期末）函数在上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2.1】（2023下·江西新余·高二统考期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.2】（2022下·北京·高二校考期中）为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； ②在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同； ③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①③ 【考点3 利用导数的定义解题】 【例3.1】（2023下·河北廊坊·高二校联考开学考试）函数在上可导，若，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【例3.2】（2022下·江西赣州·高二校联考期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3.1】（2023下·河南驻马店·高二统考期末）定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·高二课时练习）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（    ） A． B． C． D． 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就 是导数的几何意义.相应地，切线