第1讲 导数的概念与几何意义讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第1讲 导数的概念与几何意义 [知识梳理] 一．物体的平均速度与瞬时速度 1.平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2.瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 二．抛物线切线的斜率 1.抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为= 2.抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k= 三．平均变化率 函数从到的平均变化率 1.定义式： 2.实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3.意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4.平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 5.求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 四．函数在x＝x0处的瞬时变化率 1.定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作. 2.定义法求导数步骤： ① 求函数的增量：； ② 求平均变化率：； ③ 求极限，得导数：. 五．导数的几何意义 如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【注意】函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 六．求曲线“在”与“过”某点的切线 1.求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式. 2.求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． [例题讲解] 题型一 函数的平均变化率 例1 (1)函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 答案　B 解析　平均变化率为＝＝－. (2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为(　　) A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29 答案　B 解析　∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴＝＝－1.1. (3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为__________________． 答案　1<2<3 题型二 求瞬时速度 例2 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． 解　(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，＝＝3－Δt， ＝ (3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，＝＝－1－Δt， ＝ (－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型三 求函数在某点处的导数 例3　求函数y＝x－在x＝1处的导数． 解　∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，∴＝＝1＋， ∴ ＝＝2.从而y′|x＝1＝2. 题型四 求切线方程 例4　1.已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x. (1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程； (2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 解　因为＝＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2， 所以f′(x)＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1. (1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. (2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tan α，所以tan α＝3x2＋1≥1. 又α∈[0，π)，所以α∈. 2.求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 解　设切点为(x0，x＋x0＋1)，则切线的斜率为k＝ ＝2x0＋1.又k＝＝，∴2x0＋1＝.解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0. 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 题型五 求切点坐标 例5　过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 解　f′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． 题型六 利用图象理解导数的几何意义 例6　已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 答案　C 解析　kAB＝＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)． [随堂练习] 训练1　已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 解　(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx. 训练2　(1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________. 答案　1 解析　因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2， 所以 ＝(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1. (2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 解　质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率． ∵质点M在t＝2附近的平均变化率为＝＝＝4a＋aΔt， ∴ ＝4a＝8，即a＝2.＝6x0＋3Δx. 训练3　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 答案　B 解析　 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. (2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 答案　D 解析　因为＝＝＝， 所以f′(m)＝ ＝－，所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 训练4　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________． 答案　－3 解析　∵y′|x＝2＝ ＝ ＝ (4＋Δx)＝4， ∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3. ∴切线与y轴交点的纵坐标是－3. 训练5　已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值． 解　对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝ ＝2x0. 对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝ ＝ ＝－3x. 由题意得2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－.经检验，均符合题意． 训练6　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 答案　A 解析　依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足． [课后作业] 一.单选题 1．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（  ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 2．设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（  ） A． B．2a C． D．a 3．已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 4．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（  ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 5．已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（  ） A．0 B．1 C． D． 二.多选题 6．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（  ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 7．午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（  ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 三.填空题 8．函数在区间上的平均变化率为 . 9．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ． 10．设，则 . 11．曲线在点处的切线方程是 . 12．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 四.解答题 13．已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； 14．已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 15．已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 16．如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标 [参考答案] 1．A 【详解】，则，即列车运行10秒的平均速度为米/秒. 2．A 【详解】解：. 3．B 【详解】解：由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即，在点的切线斜率大于，即， 所以； 4．C 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 5．A 【详解】由题可知时该质点的瞬时速度为 ． 6．BCD 【详解】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为，D正确． 7．AC 【详解】由题意可知；，，， 由图像可知，，即，因此，， 所以，因此，此时，故A正确； 由，可化，故，故B不正确； 由图像可知，直线与曲线的交点为，，故存在，使得，即当时，，故C正确； 时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由图象可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，速度最快，故D不正确. 8．3 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 9． 【详解】因为， 所以曲线在点处的切线斜率为. 10． 【详解】由 所以，即. 11． 【详解】由题意得在处的切线斜率为，故切线方程是，即， 12．或 【详解】点不在曲线上．设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 13．(1) (2) (3) (4)，， 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）由（2）知，则，. 14．(1) (2)：；： 【详解】（1）因为， 所以； （2）点满足曲线，即为直线的切点，直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则， 因为，所以，解得，所以， 即切点为，切线的斜率为， 故的方程为，即． 15．(1) (2) 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ，即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 16．或 【详解】设切点坐标为，则，曲线在点P的切线与直线平行，则切线斜率为， 则；当时，；当时，，所以切点坐标为或. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$