专题11.3离散型随机变量及其分布列、数字特征（讲+练）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第十一章 概率 专题11.3离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征． 考点一 分布列的性质 考点二 离散型随机变量的分布列及数字特征 考点三 均值与方差中的决策问题 1．离散型随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示， X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 此表称为X的概率分布或分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①pk≥0(k＝1,2，…，n)； ②k＝p1＋p2＋…＋pn＝1. 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 常用结论 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 题型一 分布列的性质 1．设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） X 3 4 5 9 P A． B． C． D． 4．若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（    ） A． B． C． D． 5．随机变量X的分布列如表，则m＝（    ） X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征 6．一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 7．一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 8．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（    ） A． B． C． D． 9．设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 0.15 0.15 0.15 0.25 m 若随机变量，则等于（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 10．已知随机变量的分布列为，设，则（    ） A． B． C． D． 题型三 均值与方差中的决策问题 11．若，且，则（    ） A．a的最小值为4 B．的最小值为4 C．a的最大值为4 D．的最大值为4 12．设离散型随机变量的期望和方差分别为和，且，则（    ） A． B． C． D．和大小不确定 13．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（    ） A．2 B．3 C． D． 14．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（    ） A． B． C．1 D．2 15．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一