2024届高三数学二轮复习专题突破精练--与平面向量数量积有关的最值问题　

与平面向量数量积有关的最值问题 一、单项选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[2023·山东济南历城模拟]已知向量a＝(x＋1，1)，b＝(1，)，若x>0，则a·b的最小值为(　　) A．2 B．1＋2 C．2＋2 D．2－1 2．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　) A． B．4 C． D． 3．如图所示，在正方形ABCD中，已知||＝2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．[2023·湖北武汉模拟]如图，已知AOB是半径为2，圆心角为的扇形，点E，F分别在OA，OB上，且OA＝3OE，OB＝3OF，点P是圆弧上的动点(包括端点)，则·的最小值为(　　) A．4－ B．4＋ C． D． 5．[2023·福建福州模拟]在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，＝x＋，x∈[0，1]，则·的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－ 6．[2023·广东佛山模拟]已知A(－1，0)，B(2，0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，则·的最大值是(　　) A．18 B．9 C．3 D． 7．[2023·辽宁抚顺模拟]已知双曲线C：－＝1的焦点分别是F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是(　　) 8．[2023·辽宁沈阳模拟]已知向量b，c和单位向量a满足|a－b|＝2|b|，|c－a|＋|c＋a|＝4，则b·c的最大值为(　　) A． B． C．2 D． 9．[2023·湖南长沙模拟]已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝，则·的最大值为(　　) A．＋1 B．2 C．2 D．1－ 10．[2023·浙江杭州模拟]已知点P是边长为1的正十二边形A1A2…A12边上任意一点，则A1P·A1A2的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－2 二、多项选择题 11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧(包含B，D)上的任意一点，且＝x＋y，则下列结论正确的是(　　) A．x＋y的最大值为 B．x＋y的最小值为 C．·的最大值为4 D．·的最小值为4－4 12．[2023·湖南长郡中学模拟]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，恒过点A(1，3)的直线l与圆C交于P，Q两点．下列说法正确的是(　　) A．|PQ|的最小值为2 B．·∈[6，8] C．·的最大值为－2 D．过点C作直线l的垂线，垂足为点B，则点B的运动轨迹在某个定圆上 三、填空题 13．[2023·云南昆明模拟]已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的最小值为________． 14．已知O是坐标原点，点A(－2，1)，若点M(x，y)为△BCD内一点，其中B(－2，－1)，C(0，－1)，D(－1，0)内的一个动点，则·的最大值为________． 15．已知平面向量a，b，c中，|a|＝，|b|＝1，(c－a)·(b－a)＝0且|c－a|＝|b－a|，则|c|的最大值为________． 16．[2023·河北石家庄模拟]如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD，BC于点E，F.当点P在劣弧EF上运动时，·的最小值为________． 1．解析：a·b＝x＋1＋≥2 ＋1＝2＋1，当且仅当x＝时等号成立， 则a·b的最小值为1＋2.故选B. 答案：B 2．解析：由题意， ∵|a＋b|＝6， ∴a2＋b2＋2a·b＝36， ∵|a|＝|b|＝5， ∴a·b＝－7，|ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2＝25t2＋2t×(－7)＋25＝25t2－14t＋25， 当t＝时，|ta＋b|2取得最小值， ∴|ta＋b|的最小值为.故选A. 答案：A 3．解析： 以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，设N(x，y)，(0≤x≤2，0≤y≤2)，则＝(2，0)，＝(x，y)， ·＝2x∈[0，4]，所以·的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到．故选C. 答案：C 4．解析： 如图，以O为原点，OA，OB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A(2，0)，B(0，2)，E(，0)，F(0，)，设P(x，y)，x，y>0，则x2＋y2＝4， 所以·＝(－x，－y)·(－x，－y)＝x2－x＋y2－y＝4－(x＋y)， 因为x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝4，所以(x＋y)2＝4＋2xy