第3章 圆（压轴题专练）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第3章 圆（压轴题专练） 目录： 题型1：圆与三角形、四边形综合 题型2：圆与相似三角形、解直角三角形 题型3：圆与二次函数 题型4：圆在平面直角坐标系中的应用 题型5：与圆有关的动态问题 题型6：切线问题 题型7：正多边形与圆、弧长问题 题型1：圆与三角形、四边形综合 1．是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，． (1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数； (2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：； (3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 2．【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 3．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 题型2：圆与相似三角形、解直角三角形 4．已知的直径与弦交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接，弦交直径于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交直径于点，，过点的直线交的延长线于点，求的长． 5．如图1，内接于，于点D． (1)连接，，求证：； (2)如图2，若点E为弧上一点，连接交于点F，若，，连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连接，，若，，求线段的长． 6．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为___________度．    【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ， ∴． ∵是等边三角形． ∴， ∴ 请你补全余下的证明过程． 【延申】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．则、、之间满足什么关系？证明你的结论． 【应用】如图④，是的外接圆，，，点P在上，且点P是上一点，连结、、．若，则的值为___________． 题型3：圆与二次函数 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴负半轴于点    (1)如图1， ①直接写出，，三点的坐标； ②抛物线上存在点，使得，直接写出点的坐标； (2)如图2，设经过，，三点的交轴于另外一点，，经过点的直线交抛物线于，两点，若的长等于的直径长，求的值． 8．在平面直角坐标系内，的三个顶点为，，，以及其内部区域记为W．若点P落在图形W上，则称点P为“好点”．    (1)下列各点，，中是“好点”的有 (2)如图，点Q坐标为，若以Q为圆心r为半径的圆上存在唯一点P是“好点”，求r的值： (3)如图，点M、N是抛物线（）的两个端点，（点M在点N左边），连接，由抛物线（）和线段围城的封闭图形及其内部区域记为U．若图形U上存在“好点”，求c的取值范围． 9．已知抛物线经过点．    (1)求抛物线解析式和直线的解析式； (2)若点是第四象限抛物线上的一点，若，求点的横坐标； (3)如图2，点是线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与过且垂直于的直线交于点，求当最小时点的坐标及最小值． 题型4：圆在平面直角坐标系中的应用 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，过点A、B的与y轴交于C、D两点（点C在点D上方），连接，点E为中点．    (1)连接，求证：； (2)若的半径为2，的平方和等于24，求的长度； (3)连接，若，点P在内部，且，则B点坐标为______． 11．在平面直角坐标系中，对于点（不在坐标轴上）给出如下定义：以为圆心，为半径的与y轴的另一个交点为，若在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，则称点是完美点． 如图，若点的坐标为点，则在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，所以点是完美点．    (1)下列点中是完美点的有___________（填序号）； ①；② (2)已知为抛物线上一点，若为完美点，求的取值范围： (3)已知直线l：，点为直线上一点，若以为圆心，半径为的上无完美点，求的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，