临界生三角、数列冲刺练（9）-2024届高三数学一轮复习

临界生三角、数列冲刺练（9） 时间： 60分钟 班级：___________ 姓名：___________ 1．已知数列满足，，记． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前n项的和． 2．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 3．在数列中，， (1)证明：数列是等比数列. (2)求数列的前项和. 4．在中，角的对边分别为的面积为，已知. (1)求角； (2)若的周长为，求的最大值. 10．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，. (1)求证：平面平面； (2)点是棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求点的位置. 12．如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将沿折起，使得点D到点P位置，且． (1)求证：平面平面；(2)已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置． 2 / 2 参考答案 1．【详解】（1）证明：因为数列满足，，可得，又因为，即，且， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：由（1），可得数列的通项公式为，可得， 所以 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 所以数列的前项和为：. 2．【详解】（1）当时，， 即，解得． 因为（）， 所以（）， 又（，），， 所以（）， 又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以 ， 所以． 3．【详解】（1）由得， ， 所以数列为首项为1，公比为4 的等比数列. （2）由（1）得，则， . 4．【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理，得， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理，得，即， 所以，即， 因为，， 所以， 所以， 又（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 即的最大值为. 5．【详解】（1）如图，取中点为，连接. 因为，，， 在中，由余弦定理可得 ， 所以，且， 所以. 又因为为等边三角形，中点为， 所以，，，且. 在中，有， 所以，. 因为平面，平面，， 所以，平面. 因为平面， 所以，平面平面. （2）由（1）知，，平面. 分别以所在的直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则有，即， 取，则，，. 因为直线与平面所成角的正弦值为时， 所以有，即， 所以有， 整理可得，，解得或. 所以，点与点重合或. 6．【详解】（1）∵E为中点，， ， 又，四边形为矩形， ， ， ． 又，，AP，平面， 平面， 又平面， 平面平面． （2）过点E作平面，以E为坐标原点，以，，所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，． ，，， 设，， 则， 设是平面的一个法向量，则 即， 取，则， ． 又为平面的一个法向量， ， ∵平面与平面的夹角为， ，解得， 点M为线段的中点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$