微专题5：与平面向量有关的最值、范围问题训练-2024届高三数学一轮复习

微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题 一、基本技能练 1.已知向量a＝(，1)，b＝(1，)，则|λa－b|(λ∈R)的最小值为(　　) A.2 B. C.1 D. 2.设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 3.(多选)已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋b|的可能取值为(　　) A.3 B. C. D.6 4.(2023·烟台模拟)在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，当·取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为(　　) A.－ B. C.－ D. 5.(2023·长沙模拟)已知a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0.若向量c满足|a＋b－2c|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A.[1，－1] B. C. D. 6.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b－ta|的最小值为1，则(　　) A.若θ确定，则|a|唯一确定 B.若θ确定，则|b|唯一确定 C.若|a|确定，则θ唯一确定 D.若|b|确定，则θ唯一确定 7.已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为(　　) A.－1 B.2－1 C.2－1 D.－1 8.已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(＋)·(＋)的最小值为(　　) A.－4 B.4 C.无最小值 D.0 9.(2023·宁波调研)在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，E为边BC上的动点(不含端点)，＝λ＋μ，则＋的最小值为(　　) A.2 B.5 C. D. 10.(多选)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(　　) A.λ的最大值为 B.μ的最大值为1 C.·的最大值为2 D.·的最大值为＋2 11.在△ABC中，AB＝2AC＝4，·＝2，则|λ＋(2－2λ)|的最小值为____________；若P为边AB上一点，则·的最小值为________. 12.已知平面向量a，b是单位向量.若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝，则|c＋2a|的取值范围是________. 二、创新拓展练 13.(2023·佛山模拟)在△ABC中，AB＝，∠ACB＝，O是△ABC的外接圆圆心，则·＋·的最大值为(　　) A.0 B.1 C.3 D.5 14.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C.2 D.2－ 15.(多选)(2023·武汉调研)如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB＝，点C，D分别为线段OA，OB上的动点，且CD＝1，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是(　　) A.·的最小值为0 B.·的最小值为1－ C.·的最大值为1 D.·的最小值为0 16.(2023·大连适应性考试)已知向量a与b的夹角为120°，且a·b＝－2，向量c满足c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)，且a·c＝b·c，记向量c在向量a与b方向上的投影分别为x，y.现有两个结论：①若λ＝，则|a|＝2|b|；②x2＋y2＋xy的最大值为，则正确的判断是(　　) A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 17.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________. 18.(2023·泰安模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝，点P在线段CD上(P不与C，D点重合)，若△ABC的面积为4，＝m＋，则实数m＝________，||的最小值为________. 参考答案 1.C　[由题意可得λa－b＝λ(，1)－(1，)＝(λ－1，λ－)， 所以，|λa－b|2＝(λ－1)2＋(λ－)2 ＝4λ2－4λ＋4＝4＋1， 故当λ＝时，|λa－b|取得最小值1.] 2.C　[由题意得，＝－＝(a－1，1)， ＝－＝(－b－1，2)， ∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R， 则可得2a＋b＝1， ∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋ ≥4＋2＝8， 当且仅当b＝2a＝时，等号成立， ∴＋的最小值为8.] 3.CD　[设e＝(1，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 由a·e＝1得x1＝1，