微专题4：平面向量的基本运算和应用-2024届高三数学一轮复习

微专题4 平面向量的基本运算和应用 一、基本技能练 1.(2023·哈尔滨模拟)设e1与e2是不共线的非零向量，若ke1＋e2与e1＋ke2共线且方向相反，则k的值是(　　) A.－1 B.1 C.±1 D.任意不为零的实数 2.(2023·重庆质检)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，且a＝e1＋e2，b＝xe1＋2e2.若a⊥b，则实数x的值为(　　) A.2 B.－2 C.4 D.－4 3.(2023·福州模拟)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为120°，则2a－b在b上的投影向量为(　　) A.－3b B.－b C.－b D.3b 4.(2023·烟台模拟)设P是△ABC所在平面内一点，且＝3，则＝(　　) A.＋ B.－ C.＋ D.－ 5.如图，在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋(m∈R)，则m的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 6.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A. B.3 C.2 D.5 7.设向量a，b均为单位向量，且a⊥b，则(a＋2b)·(3a－5b)＝________. 8.(2023·合肥质检)若向量a，b为单位向量，且|a－2b|＝，则向量a与向量b的夹角为________. 9.(2023·济南模拟)写出一个同时满足下列条件①②的向量a＝________. ①|a|＝1； ②向量a与b＝(1，－1)的夹角α∈. 10.(2023·青岛模拟)若△ABC是边长为 2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则·(＋)的值为________. 11.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π]. (1)若a⊥b，求x的值； (2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 12.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2. (1)若∠ABD＝，求BC的长； (2)若AC＝3，求cos∠BAD. 二、创新拓展练 13.点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC一定是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 14.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　) A.·＝－1 B.＋＝0 C.|＋＋|＝ D.在方向上的投影向量的长度为 15.(2023·衡水模拟)如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记Mi＝2·i(i＝1，2，…，10)，则M1＋M2＋…＋M10＝________. 16.(2023·南京二模)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形.若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为___________________________； ②设＝λ＋μ，则λ＋μ＝___________________________________. 17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1). (1)若λ＝，证明：△ABC为直角三角形； (2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值. 参考答案 1.A　[设ke1＋e2＝m(e1＋ke2)＝me1＋mke2，且m<0， 因为e1与e2是不共线的非零向量， 所以解得故选A.] 2.B　[由题意知，e1·e2＝1×1×cos 60°＝. 又a⊥b，所以a·b＝(e1＋e2)·(xe1＋2e2) ＝x|e1|2＋(x＋2)e1·e2＋2|e2|2＝x＋3＝0，故x＝－2.] 3.B　[因为|b|＝2|a|，且a与b的夹角为120°， 所以2a－b在b上的投影向量为 ·＝·b ＝·b ＝·b＝－b，故选B.] 4.B　[因为＝3， 即＝3(－)， 所以＝， 所以在△PBC中，＝－＝－，故选B.] 5.C　[由＝2，可得＝， 即＝m＋＝m＋. 因为C，P，D三点共线， 所以m＋＝1，m＝.] 6.B　[法一　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝(＋)·(－＋)＝||2－||2， 由题意知||＝||＝2， 所以·＝4－1＝3. 法二　以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则＝(1，2)， ＝(－1，2)，·＝－1